Polarkoordinatendarstellung, komplexe Zahlen

Question

Gegeben seien die komplexen Zahlen z₁ = 1 + i und z₂ = -1 - √3 i. Geben sie die Polarkoordinatendarstellungen von z₁ und z₂ an und berechnen Sie damit die Polarkoordinatendarstellungen von z₁¹⁰ sowie z₂⁴.

Welche Polarkoordinatendarstellung hat die komplexe Zahl z = z₁¹⁰ / z₂⁴

(In allen Fällen soll das Argument zwischen 0 und 2π liegen)

Answer 1

Zeichne dir das mal ein und du siehst:

z1 hat die Länge √2   (Pythagoras)

 und den Winkel arg(z1)=45°=pi/4  (arctan(1/1))

also z1 = √2   * e^{i*pi/4}

z1^{10}: Länge (√2)^{10} = 32 und Winkel

10*pi/4 =2,5pi  entspricht mod 2pi dann 0,5pi

also z1^{10} = 32*e^{i*pi/2}

Comments

Wie kommst du bei z₁¹⁰ auf den Winkel π/2?

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Der Winkel von 2pi entspricht einer ganzen Drehung, also

ist 2,5pi der zu 0,5pi entsprechend Winkel (halt eine

Umdrehung mehr, aber ihr sollt ja im Bereich 0 bis 2pi

bleiben.

Answer 2

sowas mußt Du berechnen: