Vektorgeometrie: Kreis.

Question

Aufgabe

Es gibt zwei Kreise, welche die Koordinatenachsen berühren und durch den Punkt A( 8 I 1 ) verlaufen. 

(a) Berechnen Sie die Mittelpunkte und Radien der beiden Kreise. 
(b) An den kleineren derbeiden Kreise sollen die beiden Tangenten gelegt werden, die       senkrecht zur geraden g: (2 , 1) + t*(4 , 3) stehen.

Wie lauten die Koordinatengleichungen der zwei Tangenten ?

Ich habe:

Die Gerade g in eine explizite Form umgeschrieben:

g: y = 3/4x  + 2,5


Dann habe ich die Normale die durch den Punkt A (8I1) geht dazu bestimmt.

n: y = -4/3x + 35


Dann deren Schnittpunkt berechnet, weil ich dachte, dass
dieser Schinttpunkt eventuell der Mittelpunkt des einen Kreises sein könnte. 

S ( 15.6 I 14,2 ) 

K: (8 - 15.6)² + (1 - 14,2)² = (14.2)²
     (57.76) + (174.24) = 201.64
     

Aussage ist Falsch, und hier bin ich in der Sackgasse ! :(

Comments

g: y = 3/4x  + 2,5

Dies ist falsch.

Answer 1

a)

Koordinatenachsen ist wohl nicht umsonst im Plural. Sie sollen also die \(x\)-Achse und \(y\)-Achse berühren.

Kreisgleichungen:

\((x-m)^2+(y-m)^2=m^2\)

\((8-m)^2+(1-m)^2=m^2\)

Lösen mit einem beliebigen Verfahren zum Lösen von quadratischen Gleichung erhältst du:

\(m_{1}=5 \quad \text{und} \quad  m_{2}=13\)

Die Kreisgleichungen heißen also:

1. \((x-5)^2+(y-5)^2=5^2\)

2. \((x-13)^2+(y-13)^2=13^2\)

Comments

Super, nur schnell die Frage wie du auf folgendes kommst:

(x-m)^2+(y-m)^2=m^2

(8-m)^2+(1-m)^2=m^2

Also dass der x-Wert und y-Wert des Mittelpunktes gleich sind, dass der y-Wert mit dem Radius übereinstimmt verstehe ich.

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Aha ja klar! Jetzt weiss ich wieso. Danke fürs Bild.

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Der Mittelpunkt ist:

\(M=(x,y)\) also haben wir \(M=(5,5)\) für die \(1.\) und für die 2. natürlich \(M=(13|13)\).

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Ist das bei der b) in der Vektorendarstellung? Habe das so noch nie gesehen.

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Es ist in der Parameterdarstellung geschrieben.

Würdest du sagen, dass bei den Kreisgleichungsaufgsben generell wichtig ist dass man es aufzeichnet ?

Weil jetzt erscheint es mir als doch einfacher als vorhin.

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Es ist in der Parameterdarstellung geschrieben.

Ok. Also soll das so heißen:$$g: \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3\end{pmatrix}$$

Würdest du sagen, dass bei den Kreisgleichungsaufgsben generell wichtig ist dass man es aufzeichnet ?

Das musst du selbst entscheiden. Ich hasse alles, was mit Zeichnen von Diagrammen zu tun hat. Aber eine Skizze kann ungemein helfen.

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Sorry es hat sich ein fehler eingeschlichen, 
so ist es richtig:

 $$ g: r = \begin{pmatrix} 2\\-1\\ \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} 4\\3\\ \end{pmatrix} $$