Mengenlehre, Innere Punkte

Question

1.) Wie lauten die Mengen der inneren Punkte von X={(x,y) ∈ R² I 4<x²+y²≤16} ?

2.) (x,y) ∈ R² das ist doch das selbe wie x=R² und y=R² ?

3.) Wann kann man immer die Mengen der inneren Punkte bestimmen?

Answer 1

Die Menge \(M\) der inneren Punkte von \(X\) (das Innere von \(X\)) lautet: $$M = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \mid 4 \lt x^2+y^2 \lt 16 \}$$ d.h. der Unterschied zu \(X\) besteht nur in dem \(\lt\) statt des \(\le\) vor der 16.

2.) (x,y) ∈ R² das ist doch das selbe wie x=R² und y=R² ?

Der Ausdruck \(x=\mathbb{R}^2\) macht IMHO keinen Sinn. Ein \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) bedeutet, dass \((x,y)\) ein Element ist, was seinerseits aus zwei Elementen aus \(\mathbb{R}\) besteht. Daher das \(\mathbb{R}^2\); es wird also eine Ebene aufgespannt:

Die Menge \(M\) ist der grüne Kreisring ohne den schwarzen Rand. \(X\) ist grüner Kreisring und der schwarze Rand. Am inneren Rand des Rings existieren keine Randpunkte von \(X\). Siehe auch Innerer Punkt.

3.) Wann kann man immer die Mengen der inneren Punkte bestimmen?

Ich denke immer, sonst wäre die Menge nicht ausreichend definiert. ich bin aber kein Experte für Topologie.

Comments

Vielen Dank :)

Wenn man den Rand angeben möchte:

Dann gilt ja:

∂X={(x,y) ∈ R² I x²+y²∈ {2,4} }

Das ist doch dasselbe wie: ∂X={(x,y) ∈ R² I x²+y²=2, x²+y²=4 }

Der Rand ist ja x²+y²=2 als auch x²+y²=4....

Vielleicht verstehst Du jetzt was ich meine zu 2.

Der Rest ist mir klar :)

---

Eine Frage habe ich noch bei [1, unendlich[

Wieso ist der Randpunkt nur 1 und wieso ist unendlich nicht dabei?

---

Wenn man den Rand angeben möchte, dann gilt ja:

∂X={(x,y) ∈ R² I x²+y²∈ {2,4} }

Nein - nicht ganz. Punkte mit der Eigenschaft \(x^2+y^2 = 2\) gehören nicht zu \(X\) und bilden damit auch keinen Rand von \(X\). Du schriebst:

$$X = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \mid 4 \textcolor{#f00}{\lt} x^2+y^2 \le 16 \}$$

Nach 'innen' hat \(X\) keinen Rand (s. Skizze in meiner Antwort). \(X\) ist dort offen. Die Menge \(\partial X\) der Randpunkte ist:

$$\partial X = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 = 4 \}$$ 

Das ist doch dasselbe wie: ∂X={(x,y) ∈ R² I x²+y²=2, x²+y²=4 }

Im Prinzip ja, eben ohne das \(x^2+y^2=2\), wie oben erläutert.

Der Rand ist ja x²+y²=2 als auch x²+y²=4....

nur letzteres (s.o.)

Vielleicht verstehst Du jetzt was ich meine zu 2.

Nein - ich verstehe nicht, was Deine Frage unter Punkt 2) mit dem Rand der Menge zu tun hat.

Eine Frage habe ich noch bei [1, unendlich[
Wieso ist der Randpunkt nur 1 und wieso ist unendlich nicht dabei?

Die Menge \([1, \infty[\) ist eine sogenannte halboffene Menge. Sie ist nach rechts (also zu den hohen Werten hin) offen und hat dort keinen Rand. Eine Menge \([1,\infty]\) existiert nicht. Da es im Unendlichen kein Element \(x_0\) gibt, für das es kein größeres Nachbarelement gibt.

Lies Dir dazu bitte noch mal die Definition eines 'inneren Punktes' bei Wikipedia durch.