Dreiste Behauptungen - Differenzierbarkeit

Question

Ich soll folgende Behauptungen zeigen oder ein Gegenbeispiel finden, weiß aber nicht wirklich wie.. 

I sei ein offenes nichtleeres Intervall in R und f,g: I -> R Funktionen auf I.  

a) Wenn f differenzierbar ist mit f'(x) = 0 für alle x ∈ I, dann ist auch f(x)=0 für alle x ∈ I. 
b) Wenn f differenzierbar und g nicht auf ganz I differenzierbar ist, dann ist f * g differenzierbar.
c) Wenn f differenzierbar und g nicht auf ganz I differenzierbar ist, dann ist f * g nicht auf ganz I differenzierbar.

Vielen vielen Dank vorab!

Answer 1

Sei I = [-10 ; 10 ].

a) Wenn f differenzierbar ist mit f'(x) = 0 für alle x ∈ I, dann ist auch f(x)=0 für alle x ∈ I.

Gegenbeispiel f(x)=1  für alle  x ∈ I.

b) Wenn f differenzierbar und g nicht auf ganz I differenzierbar ist, dann ist f * g differenzierbar.

    Gegenbeispiel  f(x) = x+1     g(x) =  | x+2|

c) Wenn f differenzierbar und g nicht auf ganz I differenzierbar ist, dann ist f * g nicht auf ganz I differenzierbar.

Gegenbeispiel   f(x)=x   und g(x) = |x| .

Comments

Vielen Dank für die Rückmeldung! Reicht es einfach das Gegenbeispiel dahin zu schreiben?

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Klar, du musst aber zeigen, dass das wirklich Gegenbeispiele sind:

etwa bei b)  f ist als lineare Funktion differenzierbar.

g ist bei x=-2 nicht differenzierbar

und f*g ist bei x=-2 auch nicht differenzierbar.

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Und die Behauptungen über die Nichtdifferenzierbarkeit der

beiden musst du eventuell noch über den Grenzwert des

Differenzenquotienten von links und rechts getrennt

nachweisen, falls ihr keine Aussagen über die Betragsfunktion bewiesen habt.