Uneigentliche Integrale berechnen

Question

Kann jemand bei c & d helfen.

Wie gehe ich vor? 

Answer 1

c) Der Integrand ist für alle x≤0 stetig und somit integrierbar über [z;0] für

alle z<0 .

Und eine Stammfunktion ist (1/2) * ( 1/(x-4)^2 ).

Also ist das Integral von z bis 0 dann (1/2) * (1/16) -  (1/2) *  ( 1/(z-4)^2 )

= (1/2) * (  (1/16) -   ( 1/(z-4)^2 ))

Für z gegen  - ∞ geht der Subtrahend in der Klammer gegen 0,

also ist der Grenzwert vom  Integral von z bis 0   =  1/32  .

Also das uneigentliche Integral hat den Wert 1/32.

Der Graph zeigt: Das macht Sinn.

~plot~ 1/(4-x)^3 ~plot~

Für d) bedenke: Der Integrand ist 1/x^3 + 1/x^4.

Comments

Wow, Sie haben mir wirklich geholfen und mich glücklich gemacht! vielen vielen dank.

Und bei d, wie wäre der Term sozusagen anders geschrieben? Wie ist er also umgeformt?

---

Und noch eine kleine Frage, also ist die Stammfunktion bei c

1/2 (4-x)^2 weil das abgleitet ergibt dann (4-x)^3

Klammerregel ist also hier anzuwenden

Ist das richtig so?

---

Nein.

eine Stammfunktion ist (1/2) * ( 1/(4-x)^2 )  [ war vertippt ! ]

oder anders geschrieben (1/2) * (4-x-)^{-2}

und das gibt beim Ableiten (1/2) * (-2) *(4-x)^{-3} *(-1) wegen Kettenregel

= -1*(4-x)^{-3} *(-1)

= (4-x)^{-3}   =  1  /   (4-x)^3 .

---

Stammfunktion:

-1/2 (4-x)^-2 abgeleitet (4-x)^-3

Umgeformt 1/(4-x)^3

So?

---

Genau so richtig.

---

Wissen Sie vielleicht was bei d die Umformung ist?

---

(x+1) / x^4

= x/x^4  + 1/x^4    1. Bruch kürzen

= 1 /x^3   +   1 / x^4

= x^{-3}  + x^{-4}

eine Stammfunktion ist

(-1/2)x^{-2} + (-1/3)x^{-3}

Answer 2

Aufgabe d)

Ergebnis: -1/12

Aufgabe c)

......................................

Comments

vielen dank! Aber leider verstehe ich nicht, was Sie da mit den Buchstabe Z tun?

Was ist die Stammfunktion? Wie kommen Sie auf 2 vor der Stammfunktion?

---

Ich habe substituiert z= 4-x.

Die Stammfunktion steht einmal unterstrichen da.