Ein Wendepunkt von f ( x ) liegt an der Stelle x0 vor, an der gilt:
f ' ' ( x0 ) = 0
An dieser Stelle x0 soll die Tangente an f waagerecht sein, also mus zudem gelten:
f ' ( x0 ) = 0
Bestimmung der Ableitungen:
f ' ( x ) =3 x ²+ 2 b x + c
f ' ' ( x ) = 6 x + 2 b
Bestimmung des Wendepunktes:
f ' ' ( x ) = 0
<=> 6 x = - 2 b
<=> x = ( - 1 / 3 ) b
An dieser Stelle muss f ' ( x ) = 0 sein, also:
f ' ( ( - 1 / 3 ) b ) = 3 * ( ( - 1 / 3 ) b ) ² + 2 b * ( - 1 / 3 ) b + c = 0
<=> ( 3 / 9 ) b ² - ( 2 / 3 ) b ² + c = 0
<=> ( - 1 / 3 ) b ² + c = 0
<=> 3 c = b ²
Das ist die gesuchte Beziehung zwischen b und c
Beispiel:
c = 12 => b ² = 3 c = 36 => b = - 6 ODER b = 6
Die Funktionen
f ( x ) = x ³ - 6 x ² + 12 x + 5
und
g ( x ) = x ³ + 6 x ² + 12 x + 5
haben einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente und zwar f ( x ) bei x = 2 und g ( x ) bei x = - 2.
Hier ein Schaubild dieser Funktionen:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3-6x%5E2%2B12x%2B5+%2C+x%5E3%2B6x%5E2%2B12x%2B5+from+-5+to+5
