Worauf ich ja schwöre: der ===> Satz von der ratioonalen Nullstelle ( SRN )
Zur Not lernt man ja noch in der Algebravorlesung die Alternative: Entweder ein Polynom 3. Grades ist das ===> Minimalpolynom seiner ( drei ) Wurzeln, oder es spaltet einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) Dein Polynom ist normiert; in diesem Falle macht der SRN über den RLF die Aussage: Wurzeln müssen notwendig ganzzahlig sein.
f ( x ) := x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 = 0 ( 1a )
a2 = ( - 17 ) ; a1 = 63 ; a0 = 81 ( 1b )
Vieta das geschmähte Stiefkind; der kubistische Vieta ist vielleicht nicht ganz so populär wie im quadratischen Fall.
a0 = - x1 x2 x3 = 81 ( 2 )
Ich gehe jetzt ganz frech her und mache den Ansatz: Dein Polynom spaltet nicht nur den obgenannten RLF ab, somdern zerfällt vollständig. Du hast bitte verstanden: Wir betrachten das Ganze als Aufgabe der kombinatorischen Zahlenteorie; welche Zerlegungen besitzt die 81 ?
Ihre Primfaktorenzerlegung lautet 81 = 3 ^ 4 . Doch ich bin dahinter gekommen, dass unsere drei Wurzeln x1;2;3 TEILER FREMD . Woher weiß ich jetzt das schon auf einmal wieder? Machen wir erst mal fertig. Teiler fremd heißt in unserem Fall: Wir haben stets ( dem Betrag nach mindestens ) eine Wurzel 1 . Das macht die Chose erheblich übersichtlicher.
In der Diplomprüfung Nebenfach ===> Galoisteorie gelang es mir, eine " eins Plus " zu ergattern, ohne je von der cartesischen Vorzeichenregel ( CV ) gehört zu haben; auch euch Schülern enthalten sie sie vor, weil sie so nützlich ist. Schließlich müssen wir uns als Erstes schlau machen über die zu erwartenden Vorzeichen:
" Einmal Minus, zwei Mal Plus "
x1 < 0 < x2 < = x3 ( 3 )
In Wahrheit hat unser Ansatz mit der CV bereits seine erste Hürde genommen; der 3. Grad ist nämlich der kleinste Polynomgrad, wo du ein Polynom finden kannst, das schon allein auf Grund der CV gar nicht vollständig zerfällt.
Diskriminante ist Vieta a2
a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) ( 4a )
Gemäß ( 3 ) werden wir systematisch die einzelne negative Wurzel raten:
x1 = ( - 81 ) ; x2_3 = 1 ; a2 = 79 ( 4b )
x1 = ( - 27 ) ; x2 = 1 ; x3 = 3 ; a2 = 23 ( 4c )
x1 = ( - 9 ) ; x2 = 1 ; x3 = 9 ; a2 = ( - 1 ) ( 4d )
x1 = ( - 3 ) ; x2 = 1 ; x3 = 27 ; a2 = ( - 25 ) ( 4e )
x1 = ( - 1 ) ; x2 = 1 ; x3 = 81 ; a2 = ( - 81 ) ( 5a )
x1 = ( - 1 ) ; x2 = 3 ; x3 = 27 ; a2 = ( - 29 ) ( 5b )
x1 = ( - 1 ) ; x2_3 = 9 ; a2 = ( - 17 ) ( 5b ) ; ok
Jetzt wird es eng; hinreichende Bedingung ist Vieta a1
a1 = x1 ( x2 + x3 ) + x2 x3 = - ( 9 + 9 ) + 9 * 9 = 63 ( 5c ) ; ok
Aufgeschoben ist nicht aufgehoben; wie war das jetzt mit dem ggt? Eine meiner Entdeckungen im Zusammenhang mit dem Tema SRN . Sei m ein Teiler; dann folgt wieder aus dem Satz von Vieta für ( 1a )
m | x1;2;3 <===> m | a2 ; m ² | a1 ; m ³ | a0 ( 6a )
Ein m, das die rechte Seite von ( 6a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms f in ( 1a ) heißen - K wie " Koeffizient " Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt - Die Behauptung in ( 1ab )
ggt x1;2;3 = gkt ( f ) ( 6b )
