Eine Potenzreihe aufstellen

Question

Hallo ,

Kann mir jemand bitte bei dieser Aufgabe mit der Lösung helfen ?

Die Funktion sei : f(x)=4x/(x+1)^2

und die Aufgabe lautet : Stelle eine zu f gehörige Potenzreihe mit dem Entwicklungspunkt x0=0 auf . und bestimme alle x aus R , für welche die Potenzreihe absolut konvergiert !

Ich verstehe die Aufgabe sogar nicht ! kann jemand bitte die lösen und sagen was man machen muss ? vielen

Answer 1

Key to success: Taylorreihe$$Tf(x;a)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^n$$ Ergo:$$f'(x)=-\dfrac{4\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)^3}$$$$f''(x)=\dfrac{8\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)^4}$$$$f^{3}(x)=-\dfrac{24\left(x-3\right)}{\left(x+1\right)^5}$$ Daraus folgt:$$f^{n}(x)=(-1)^n\cdot \frac{4\cdot n!\cdot  (x-n)}{(x+1)^{n+2}}$$ Setze in die Taylorreihe ein unter Berücksichtigung von der Entwicklungstelle. Ich komme auf:$$Tf(x;0)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n\cdot \frac{4\cdot n!(0-n)}{(0+1)^{n+2}}}{n!}}(x-0)^n$$ Kann man bestimmt noch vereinfachen...

EDIT:

Vereinfacht erhalte ich:$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{} -4\cdot (-1)^n\cdot n\cdot x^n$$ Jetzt ist mir Angst und Bange, weil der Mathecoach was anderes raus hat.

Comments

also man muss einfach die Taylorreihe für diese Funktion stellen ? und für welche Ordnung dann ? und was ist mit  bestimme alle x aus R , für welche die Potenzreihe absolut konvergiert ? das verstehe ich auch nicht ! danke

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So, habe die Antwort nun weiter ausgeführt....

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Ah keine Sorge, mein Ergebnis scheint richtig zu sein:

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Vielen Dank für deine vollständige Antwort , was ist mit der zweiten Teilaufgabe ? bestimme alle x aus R , für welche die Potenzreihe absolut konvergiert ? danke sehr

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Jetzt ist mir Angst und Bange, weil der Mathecoach was anderes raus hat.

Ich habe das gleiche heraus. Vergleiche mal Faktor für Faktor. Ich habe es nur ein klein wenig anders notiert.

Answer 2

Alternativ leite die bekannte geometrische Reihe für 1/(1+x) nach x ab und multipliziere anschließend mit -4x.

Answer 3

Im ersten Schritt gilt es doch einfach nur ein Taylorpolynom n. Grades aufzustellen.

f(x) = 4·x/(x + 1)^2 = 4/(x + 1) - 4/(x + 1)^2
f'(x) = - 4/(x + 1)^2 + 8/(x + 1)^3
f''(x) = 8/(x + 1)^3 - 24/(x + 1)^4
f'''(x) = - 24/(x + 1)^4 + 96/(x + 1)^5 
...
fⁿ(x) = (-1)^n·4·n!/(x + 1) - (-1)^n·(n + 1)!·4/(x + 1)^2
fⁿ(x) = 4·(x - n)·(-1)^n·n!/(x + 1)^2

fⁿ(0) = - 4·n·(-1)^n·n!

f(x) = ∑ (n = 0 bis ∞) (4·n·(-1)^{n+ 1}·x^n)

Comments

Hi

Dankeschön für deine Antwort , was ist mit der zweiten Teilaufgabe also bestimme alle x aus R , für welche die Potenzreihe absolut konvergiert ? ist die so schon gelöst oder muss man noch was machen ^^ danke

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Du musst du noch etwas tun.

Dazu solltest du dich an die Konvergenzkriterien zu Reihen erinnern.

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nämlich ? haha

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Schreib doch mal die Konvergenzkritierien hier auf. Ich nehme stark an das ihr die schon gehabt habt. Ansonsten könnt ihr die Aufgabe ja nicht machen.

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ja haben wir schon gemacht du meinst quotienkriterium , Wurzelkrit , Majorante , minorante und Leibniz und so oder?

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@racine_carrée

Sorry, dass ich dein Post gelöscht habe, aber genau das sollte Aufgabe des Fragestellers sein. Im Internet zu googeln kann nicht so schwer sein.

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ja haben wir schon gemacht du meinst quotienkriterium , Wurzelkrit , Majorante , minorante und Leibniz und so oder?

Exakt. Und jetzt gehst du diese Kriterien einmal durch.

f(x) = ∑ (n = 0 bis ∞) (4·n·(-1)^{n + 1}·x^n)

Beachte hier das ein Faktor (-1)^{n + 1} lautet.

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ach so ja habe jetzt verstanden was gemeint ist , Danke

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Wenn du die Aufgabe verstanden hast und versucht hast zu bearbeiten kannst du uns dein Ergebnis mitteilen. Dann können wir es kontrollieren und die Richtigkeit bestätigen.

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verstanden schon aber noch nicht gemacht , sobald ich die mach schicke ich die Lösung

danke