Stammfunktion und Nullstellen und Extreme

Question

ick komme gar nicht mit dieser aufgabe zurecht währe jemand so lieb und würde es vor rechnen?

Gegeben ist die funktionsgleixhung f(x)=x^3-3•x^2

Wie lautet die Stammfunktion ?

Und wo liegen die nullstellen bei extrema (min/max)

Und wendepunkt

Währe echt sehr lieb

Answer 1

zur Berechnung der Nullstellen setzt du f(x) = 0:

$$x^3-3x^2 = 0$$

und löst nach x auf.

Für die Extremstellen setzt du zunächst die erste Ableitung = 0:

$$3x^2-6x=0$$

und löst wieder nach x auf.

Diese Werte setzt du für x in die zweite Ableitung. Ist das Ergebnis größer als null, handelt es sich um einen Tiefpunkt, ist das Ergebnis kleiner als null, handelt es sich um einen Hochpunkt.

Um die y-Koordinaten der Extrempunkte zu bestimmen, setzt du die x-Werte in die Ausgangsfunktion ein.

Wendepunkte: du setzt die zweite Ableitung = 0 und löst nach x auf:

$$6x-6=0$$

Zu Ermittlung der y-Koordinaten des Punktes/der Punkte setzt du die x-Werte wieder in die Ausgangsfunktion ein.

Eine mögliche Stammfunktion von f(x) ist

$$F(x) = \frac{1}{4}x^4-x^3+c$$

Comments

Mein problem ist das ich nicht verstehe wie und was ich nach x aufläsen soll ich habe keine idwe was damit gwmint ist könnten sie ws mal vorrechnen vitte? Bei nullstellen / extrwmstellen+ wendepunkt

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Ich stelle meine Berechnungen ein:

Answer 2

Die Stammfunktion gewinnst Du Durch Integrieren. Erhöhe dafür den Exponenten jedes Summanden um 1 und teile durch den erhöhten Exponenten. Somit wird aus \(x^3 \to \frac14 x^4\) und aus \(x^2 \to \frac13 x^3\). Also:

$$F(x) = \int f(x) dx = \frac14 x^4 - 3 \cdot \frac13 x^3 + C = \frac14 x^4 - x^3 + C$$

Die Nullstellen gewinnt man durch 0-Setzen der Funktion: $$x^3-3x^2 = 0 \\ x^2(x-3) = 0 \\ \Rightarrow x_1=0; \space x_2=3$$ Tipp: versuche beim 'Nullsetzen' immer ein Produkt zu bilden. Ein Produkt ist =0, wenn einer der Faktoren =0 ist.

Extrema liefert das Nullsetzen der Ableitung. Und das Ableiten geht umgekehrt wie das Integrieren: Multipliziere mit dem Exponenten und reduziere ihn um 1: $$f'(x) = 3 x^2 - 3 \cdot 2x = 3x^2 - 6x$$ jetzt noch Nullsetzen: $$3x^2 - 6x = 0 \\ 3x(x-2) = 0 \\ \Rightarrow x_1=0; \space x_2=2$$

Um sicher zu stellen, ob es auch wirklich Extrema sind, noch in die zweite Ableitung einsetzen: $$f''(x)= 6x-6$$ Da \(f''(0) = -6 < 0\) ist, ist dies ein Maximum und da \(f''(x) = 6 > 0\) ist, muss dies ein Minimum sein. Der Plot zeigt es und auch die Nullstellen:

~plot~ x^3-3x^2 ~plot~