Question

Beweisen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen p gibt, die bei Division mit 4 den Rest 3 lassen. (Die ersten fünf solche Primzahlen sind also 3, 7, 11, 19, 23.)

Hinweis. Beobachten Sie, dass eine natürliche Zahl n ∈ N bei Division mit 4 genau dann den Rest 3 läÿt, wenn n von der Form $4k+3$ mit $k ∈ N_{0}$ ist. Wandeln Sie nun den (z.B. aus der Vorlesung) bekannten Beweis von Euklid für die Unendlichkeit der Primzahlmenge geeignet ab: Betrachten Sie zu endlichen vielen Primzahlen $p_1, ..., p_{r}$, die jeweils bei Division mit 4 den Rest 3 lassen, einen geeigneten Primteiler von $n=4 \prod \limits_{i=1}^{r} p_{i}-1$.

Comments

4*p₁*p_r - 1 = n

(2p₁ - 1)(2p₂ + 1) wäre 4 p1*p2 - p1 + p2 - 1 = n geht vermutlich nicht.

Kannst du damit war anfangen= 3. Binom?

(2√(p1*p2) -1)(2√(p1p2 )+ 1) = n

Andere Version:

4*p₁*p_r  = n+ 1      würde bedeuten, dass n+1 durch 4 teilbar ist.

4k = n+1

4k - 1 = n

4(k-1) + 4-1 = n

4(k-1) + 3 = n

Also 4m + 3.

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Irrtum gefunden. Korrektur folgt.

Answer 1

Es sei r ∈ ℕ und M = {p₁,...,p_r} eine Menge von Primzahlen mit der Eigenschaft p_k ≡ 3 mod 4 für 1 ≤ k ≤ r. Definiere x ∈ ℕ durch x = 4·p₁·...·p_r - 1. Es ist x ≡ -1 mod 4, also x ≡ 3 mod 4. Außerdem ist x ≡ -1 mod p_k für 1 ≤ k ≤ r. Sei x = q₁·...·q_s die Primfaktorzerlegung von x. Es ist q_j ≠ p_k für 1 ≤ j ≤ s und 1 ≤ k ≤ r. Angenommen, es ist q_j ≡ 1 mod 4 für 1 ≤ j ≤ s. Man rechnet leicht nach, dass dann auch x ≡ 1 mod 4 sein muss. Da aber x ≡ 3 mod 4 ist, muss es mindestens ein m ∈ {1,...,s} geben mit q_m ≡ 3 mod 4. Die Menge M ist also eine echte Teilmenge von M' = M ∪ {q_m}. Wende obiges Verfahren auf M' an. Induktiv folgt analog zu Euklid die Behauptung.

Answer 2

4*p₁*p_r  = n+ 1      würde bedeuten, dass n+1 durch 4 teilbar ist.

4k = n+1

4k - 1 = n

4k -4 + 4 - 1= n        Das ist was Ähnliches wie quadratische Ergänzung. Ziel: 4 ausklammern.

4(k-1) + 4-1 = n

4(k-1) + 3 = n

Also 4m + 3 =n.

Comments

Für was steht das m

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Vergleiche mal:

4(k-1) + 3 = n

Also 4m + 3 =n.

m ist eine natürliche Zahl, wenn k eine natürliche Zahl war und nicht gerade die kleinste.

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Zum einen verstehe ich nicht was "Das ist was Ähnliches wie quadratische Ergänzung. Ziel: 4 ausklammern." mathematisch bedeuten soll und zum anderen verstehe ich nicht wie aus 4(k-1)+3=n plötzlich 4m+3. Wobei nirgendwo ein m vorkommt. Was soll das m überhaupt bedeuten? #Zauberei P.S. Wie aus "4*p1*pr" "4k" wird ist mir natürlich auch ein Rätsel. Über genauere Erläuterung würde ich mich sehr freuen.