Kann die Mächtigkeit der Menge X Folgendes sein? #P(X) = n ?

Question

Ich hab eine Aufgabe in der steht.

Sei #P(X) := n, wobei X echte  Teilmenge  von Y ist und sei y_0 = Y\X

Dann soll man beweisen

# P(X u {y_0}) =2*n

Kann mir das mal jemand erklären warum 2*n und nicht normal 2 hoch n?

EDIT: Vollständige und korrekte Originalversion im Bild bei " (Duplikat) ".

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Potenzmengenbeweis Mengen

Stichworte: mengenlehre

Kann mir jemand den Beweis zeigen danke voraus

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Sei #P(X) := n

Das ergibt streng genommen keinen Sinn.

Das Zeichen := bedeutet "wird definiert als". Dabei steht der Doppelpunkt auf der Seite die durch die andere festgelegt wird.

#P(X) ist aber eine durch X eindeutig festgelegte Zahl (nämlich die Mächtigkeit der Potenzmenge von X). Da gibt es nichts, was noch definiert werden müsste.

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Das ergibt streng genommen keinen Sinn.

Streng genommen ist deine interpunktion unzureichend.

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Im abgebildeten Original steht nicht #P(X) := n sondern #P(X) =: n.

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Dort steht n:=#P(Y) und der Frager hat etliche Details der Aufgabe nicht richtig wiedergegeben.

Answer 1

Die Konstruktion in der Ausgabe ist so gemeint: Eine Menge X mit n Elementen wird um ein zusätzliches Element vergrößert, hat also nun (n+1) Elemente. Wieviele Elemente hat nun die Potenzmenge der vergrößerten Menge?

Comments

Meintest du nicht:

Die Konstruktion in der Ausgabe ist so gemeint: Eine Menge X mit k Elementen wird um ein zusätzliches Element vergrößert, hat also nun (k+1) Elemente. Wieviele Elemente hat nun die Potenzmenge der vergrößerten Menge?

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Da habe ich mich leider völlig falsch ausgedrückt, ich versuche es noch mal:

Eine Menge X mit n Teilmengen wird um ein zusätzliches Element y_0 zu einer Menge X∪{y0} ergänzt. Beweise: #P(X∪{y_0})=2n.

Natürlich muss n eine Zweierpotenz sein, also n=2^k gelten. Und das wäre dann auch der Einstieg in den Beweis.

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Müsste man dann beim Induktionschritt dies zeigen? Man setzt dann für n= 2 hoch k  ein

#P(x u {y_0})=2*(2 hoch k)

Der Induktionsanfang steht untenn

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Es ist doch so:

(1) Es ist #P(X)=:n∈ℕ gegeben.

Daraus folgt

(2) X ist eine endliche Menge.

Sei nun #(X)=:k∈ℕ. Dann folgt

(3) #P(X)=n=2^k und

(4) #(X∪{y_0})=k+1 (wegen y_0∉X) und

(5) #P(X∪{y_0})=2^{k+1}=2*2^k=2*n   q.e.d.

Es ist sicher denkbar, daraus einen Induktionsbeweis zu machen, aber klarer geht es eigentlich kaum.

Answer 2

# P(X u {y_0}) =2*n

Kann mir das mal jemand erklären warum 2*n und nicht normal 2 hoch n?

n selbst scheint irgendeine passende natürliche Zahl zu sein und nicht, wie du annimmst, die Mächtigkeit der Menge X.

D.h. n könnte durchaus 2^k sein und |X| = k.

Nur interessiert das in der aktuellen Rechnung gerade nicht.

# P(X u {y_0}) =2*n

bedeutet, dass die Potenzmenge von X u {y_0} doppelt so viele Mengen enthält wie die Potenzmenge der Menge X. Begründung: Jede Teilmenge von X ist auch Teilmenge von X u {y_0} . Ausserdem kann man jeder Teilmenge von X noch das Element y_0 hinzufügen und man hat wieder eine Teilmenge von X u {y_0}.

Comments

n ist die Mächtigkeit der Menge X, denn das steht ausdrücklich in der Aufgabe.

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@Az0815: Nochmals lesen :)

#P(X) := n,

n ist die Mächtigkeit der Potenzmenge von X.

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Du hast recht, aber das war mir eigentlich auch klar! :-)

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Jedenfalls ist n nicht "irgendeine passende natürliche Zahl", sondern eben #P(X) und damit natürlich selbst eine 2er Potenz und #P(X∪{y_0})=2*n dann auch.

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Mom ich versteh das jetzt nicht

Wie kann das denn Das doppelte sein

In der Aufgabe steht nur das y eine teilmenge ist es kann ja auch nur die leere menge enthalten??

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Wenn X eine echte Teilmenge von Y ist, dann kann Y nicht leer sein.

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X u {y_0}.

ist die Menge X vereinigt mit der einelementigen Menge, die nur y_0 enthält.

Offenbar ist y_0 nicht in X enthalten.

 sei y_0 = Y\X

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Ok wenn man das jetzt beweisen würde mit vollständige Induktion

IA: n=1

#P(x u{y_0} ) =2 =2n weil die Potenzemenge von x nur die leere menge, also ein Element  und von {y_0} wären 2 Element  die leere menge und sich selbst oder??

Wie würde man den indukttionschritt denn machen ?

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Du hast das immer noch nicht verstanden, da ist nix mit Induktion. Zu zeigen ist einfach nur $$\#P(X\cup\{y_0\})=2\cdot\#P(X).$$ In der Formulierung der Aufgabe wird \(n\) nur als Abkuerzung für \(\#P(X)\) verwendet.

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Ich bin jetzt völlig verwirrt ich dachte ich muss für n= 2hoch k einsetzen

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Lies einfach nochmals meine Antwort und kümmere dich nicht um die darauf folgende Diskussion in den Kommentaren.

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Du musst (und darfst) für \(n\) ueberhaupt nichts "setzen". Das ist eine Abkuerzung für \(\#P(X)\). Entsprechend steht da (richtig rum geschrieben!) auch \(n:=\#P(X)\). In Worten: \(n\) ist definiert als die Anzahl der Teilmengen von \(X\).

Wenn man die Abkuerzung eliminiert, wird die Sache voellig \(n\)-frei: $$\#P(X\cup\{y_0\})=2\cdot\#P(X)$$ Fang an, das zu zeigen und vergiss \(n\).

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Zwar verstehe ich wenn jede Teilmenge von X automatisch  auch Teilmenge von X u {y₀} ist. und auch wenn man jeder Teilmenge von X ein y₀ hinzufügt  ergibt zwar das Doppelte das hab ich verstanden 

#P(X ∪ {y₀})= #P({y∈Y I y₁, y₂ ,..,y_n∈ X  v  y₀ ∈ Y}

= #P({y ∈ Y I y_1,y_2,..,y_n ∈ X}) U #P({y∈ Y I y₀ ∈ Y)

=  #P({y ∈ Y I y₀,y1,y2,..,yn ∈ X}) U #P({y ∈ Y Iy₀, y1,y2,..,yn ∈ X})  ( die zweite Potenzmenge ist von Y, ich wollte die Teilmenge X  so rausziehen )

= 2*#P(X)

ich glaub das ist nicht richtig aber ich weiß jetzt auch nicht genau wie man auf  2 #P(X)   

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Ich wiederhole:

Begründung: Jede Teilmenge von X ist auch Teilmenge von X u {y_0} . Ausserdem kann man jeder Teilmenge von X noch das Element y_0 hinzufügen und man hat wieder eine Teilmenge von X u {y_0}.

n+n = 2*n

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#P({x₁ ∈ X  ∧ x₁ ∈ X u {y₀}}) ∪ ....∪ #P({ x_n ∈ X ∧ x_n∈ X u {y₀}})

ich versteh das einfach nicht, ist egal trotzdem danke