Welche der Gruppenaxiome sind bei der Verknüpfung (a,b) -> a*b := b erfüllt?

Question

Hallo :)

Auch die einfachsten Aufgaben können einem am Anfang verwirren. Ich hoffe ihr könnt mir bei dem Anfang helfen.

Die Aufgabe lautet: Sei M eine Menge |M| ≥2. Wir definieren die folgende binäre Verknüpfung

* : M x M → M

     (a,b) → a* b := b

Jetzt gibt es ja die unterschiedlichsten Gruppenaxiome und ich soll herausfinden/beweisen welche davon gelten.

Zunächst G0 die Abgeschlossenheit: Durch die Definition M x M → M sollte dies ja automatisch gelten, da durch die Verknüpfung das neue Element auch in der Menge M liegt.

Und jetzt kommt schon langsam Verwirrung auf. Bei G1 der Assoziativität würde ja eine Verknüpfung der der natürlichen Zahlen mit der Addition assoziativ sein -> a+(b+c)=(a+b)+c. Aber wie ist das hier, denn hier gibt es ja keinen richtigen Rechenoperator, sondern es wird anscheinend nur das zweite Element "b" genommen.

Ist es dann trotzdem assoziativ, obwohl eigentlich nichts mit den Elementen gemacht wird?

Auch bei den nächsten Axiomen G2 dem neutralen Element frage ich mich ob es ein neutrales Element geben kann, wenn es ja gar keine Rechenoperation zwischen a und b vorhanden ist.

Vielen Dank dafür, wenn ihr einem verplanten Ersti helfen könnt :D 

Answer 1

Aber wie ist das hier, denn hier gibt es ja keinen richtigen Rechenoperator

Was meinst du mit "richtigen Rechenoperator"?

Schau mal in die Gruppenaxiome, ob das, was du mit "richtigen Rechenoperator" meinst, für eine Gruppe notwendig ist.

a+(b+c)=(a+b)+c

Analog dazu muss a*(b*c) = (a*b)*c sein.

Laut Definition von * ist a*(b*c) = b*c.

Laut Definition von * ist b*c = c.

Also ist a*(b*c) = c.

Ebenso ist (a*b)*c = c laut Defintion von *.

Somit ist a*(b*c) = (a*b)*c.

Also ist * assoziativ.

obwohl eigentlich nichts mit den Elementen gemacht wird?

Natürlich wird mit den Elementen etwas gemacht: es wird das zweite ausgewählt.

Auch bei den nächsten Axiomen G2 dem neutralen Element

Das neutrale Element e muss e*a = a*e = a für jedes a∈M erfüllen.

Seien a,b∈M mit a≠b (solche a,b existieren, weil |M| ≥ 2). Dann ist a nicht neutral, weil b*a = a ≠ b ist, und b nicht neutral, weil a*b = b ≠ a ist.

Comments

Das hat mir schon sehr geholfen. Vor allem durch die verschiedenen Buchstaben bei der Assoziativität. Ich versuche mich mit dem neuen Wissen mal an der Kommutativität.

Vielleicht hast du/ihr ja noch Tipps wie man am besten diese neue Uni-Mathematik lernt. Alle sind ja mal angefangen und der Übergang ist ziemlich ruckelig bei mir :D

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der Übergang ist ziemlich ruckelig bei mir

Bedank dich beim Kultusministerium. Wir haben Menge in der dritten Klasse und Gruppen am Anfang der Oberstufe behandelt. Aber seit dem wurde der Mathematikuntericht in der Schule so ausgehöhlt, dass nur noch Anschauung und Rechenverfahren übriggeblieben sind.

Vielleicht hast du/ihr ja noch Tipps wie man am besten diese neue Uni-Mathematik lernt.

Beispiele sind wichtig. Für das aktuelle Thema heißt das, du solltest einige bekannte Gruppen nennen können.

Abgrenzung ist ebenfalls wichtig. Für das aktuelle Thema heißt das, du solltest Zahlbereiche nennen können, die einige Gruppenaxiome erfüllen, aber nicht alle.

Letztendlich werden für Argumentationen dann aber die Definitionen und darauf aufbauende Sätze verwendet, nicht die Anschauung, die man durch Beispiele und Abgrenzungen entwickelt hat.

Answer 2

Hier gilt   a*a=a  also

(a*a)*a = a*a = a  und

a*(a*a)=a*a=a  also assoziativ

Du suchst ein n mit  a*n=n*a=a

nach Def. ist a*n=n   und   n*a=a.

Da die Menge mehr als ein Element hat , gibt es

also kein solches n.