Antwort mit KI erzeugt
Lösung zu Aufgabe a) Bestimmung der Diagonalbasis
Um eine Diagonalbasis der gegebenen Abbildung \(f\) zu finden, wenden wir das Orthonormierungsverfahren (oft nach Gram-Schmidt benannt) auf die Vektoren \( \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}, \overrightarrow{e_{3}} \) an. Wir benötigen diese spezielle Basis, um eine orthonormale Basis von \(U\) und \(U^{\bot}\) zu bestimmen.
- Der dritte Basisvektor \(\overrightarrow{e_{3}}\) wird gewählt, um sicherzustellen, dass wir eine komplette Basis des \(\mathbb{R}^{3}\) haben, denn \(\overrightarrow{u_{1}}\) und \(\overrightarrow{u_{2}}\) spannen nur eine Ebene auf.
Orthonormierungsschritte:
1.
Orthonormierung von \( \overrightarrow{u_{1}} \) und \( \overrightarrow{u_{2}} \):
Beginnen wir mit \( \overrightarrow{v_{1}} = \overrightarrow{u_{1}} = (2,0,2) \).
Der erste normierte Vektor ist:
\( \overrightarrow{e_1} = \frac{\overrightarrow{v_{1}}}{\|\overrightarrow{v_{1}}\|} = \frac{(2,0,2)}{\sqrt{2^2+2^2}} = \frac{(2,0,2)}{\sqrt{8}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)
2. Als Nächstes subtrahieren wir die Projektion von \( \overrightarrow{u_{2}} \) auf \( \overrightarrow{e_1} \), um Orthogonalität zu gewährleisten:
\( \overrightarrow{v_2} = \overrightarrow{u_2} - \left( \overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{e_1} \right) \overrightarrow{e_1} = (1,1,1) - \left( \left(1,1,1\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)
Vereinfachung ergibt:
\( \overrightarrow{v_2} = (1,1,1) - \left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = (1,1,1)-(1,0,1) = (0,1,0) \)
Der normierte zweite Vektor ist:
\( \overrightarrow{e_2} = \frac{\overrightarrow{v_2}}{\|\overrightarrow{v_2}\|} = \frac{(0,1,0)}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}} = (0,1,0) \)
3.
Orthonormalisierung von \(\overrightarrow{e_{3}}\):
Da \(\overrightarrow{e_{3}}\) orthogonal zu beiden \(\overrightarrow{u_{1}}\) und \(\overrightarrow{u_{2}}\) sein soll, wählen wir einen Vektor, der schon orthogonal zu beiden ist. Ein natürlicher Kandidat ist der Vektor \( (0,0,1) \), da \(\overrightarrow{e_1}\) und \(\overrightarrow{e_2}\) in den ersten beiden Dimensionen liegen. Allerdings ist dieser Vektor schon normiert, somit ist \( \overrightarrow{e_3} = (0,0,1) \).
Wir haben nun eine orthonormale Basis \( \{\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}\} \) des \(\mathbb{R}^3\), welche eine Diagonalbasis für \(f\) darstellt, da \( \overrightarrow{e_1} \) und \( \overrightarrow{e_2} \) aus \( U \) und \( \overrightarrow{e_3} \) aus \( U^{\perp} \) stammen, und \( f \) diese separaten Unterräume auf spezifische Weise behandelt.
Lösung zu Aufgabe b) Matrixdarstellungen von \( f \):
i) Bezüglich der berechneten Diagonalbasis:
Da \(f\) jeden Vektor in \(U\) identisch abbildet und jeden Vektor in \(U^{\perp}\) auf das Zweifache abbildet, sind die Eigenwerte von \(f\) in Bezug auf die gefundene Diagonalbasis \(1\) für \( \overrightarrow{e_1} \) und \( \overrightarrow{e_2} \), und \(2\) für \( \overrightarrow{e_3} \). Also ist die Matrixdarstellung von \(f\) bezüglich der Diagonalbasis:
\( [f]_{\{\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}\}}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix} \)
ii) Bezüglich der Standardbasis:
Um \(f\) in Bezug auf die Standardbasis \(\{\overrightarrow{e_1}^{std}, \overrightarrow{e_2}^{std}, \overrightarrow{e_3}^{std}\}\) (hier: \(\overrightarrow{e_1}^{std} = (1,0,0) \), \(\overrightarrow{e_2}^{std} = (0,1,0) \), \(\overrightarrow{e_3}^{std} = (0,0,1)\)) darzustellen, überlegen wir, wie \(f\) die Standardbasisvektoren abbildet. Da \(f(\overrightarrow{e_1}^{std})\) und \(f(\overrightarrow{e_2}^{std})\) in \(U\) liegen und \(f(\overrightarrow{e_3}^{std})\) in \(U^{\perp}\), erhalten wir:
- \(f(\overrightarrow{e_1}^{std}) = \overrightarrow{e_1}^{std} = (1,0,0)\)
- \(f(\overrightarrow{e_2}^{std}) = \overrightarrow{e_2}^{std} = (0,1,0)\)
- \(f(\overrightarrow{e_3}^{std}) = 2 \cdot \overrightarrow{e_3}^{std} = 2 \cdot (0,0,1) = (0,0,2)\)
Die Matrix \( [f]_{std} \) ist somit:
\( [f]_{std}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix} \)
Aufgepasst: Die Matrix sieht identisch zur Diagonalbasis aus, weil wir zufällig eine orthonormale Diagonalbasis gefunden haben, die der Standardbasis ähnelt, und die Abbildung eher einfach gehalten wurde.
