Unendliches Mengensystem Durchschnittsmenge

Question

mir fällt kein beispiel bzw. ich kenne keine Menge wo der durchschnitt die leere menge ergibt, bitte Hilfe. Die Aufgabe lautet : Geben Sie ein unendliches Mengensystem M an, so dass( Durschnittsmenge ) ∩M = ∅ gilt, aber A ∩ B != ∅(ungleich) für alle A, B ∈ M. Begründen Sie Ihre Wahl

Answer 1

Sei A_i = {x∈ℚ | √2 - i ≤ x ≤ √2 + i} für jedes i∈ℚ mit i > 0.

M := {A_i | i∈ℚ, i > 0}

Comments

Wie kommt man da drauf? sorry ich verstehe nicht warum das die Lösung ist.

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Wie kommt man da drauf?

Intervallschachtelung. Wird in der Schule manchmal im Zusammenhang mit Wurzeln in Klasse 8 durchgenommen. Außerdem die Tatsache, dass √2 ∉ ℚ ist. Das wird auch durchgenommen, wenn Wurzeln behandelt werden.

sorry ich verstehe nicht warum das die Lösung ist.

A_i besteht aus den rationalen Zahlen, deren Abstand von √2 höchstens i beträgt.

Ist m < n, dann ist A_m ⊂ A_n und somit A_m ∩ A_n = A_m.

ℚ liegt dicht in ℝ, also ist keines der A_i leer. Insbesondere ist A_m ∩ A_n ≠ ∅.

∩M = ∅, weil es für jedes q ∈ ℚ ein i ∈ ℚ gibt, so dass q∉A_i ist.

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Danke für die ausführliche Erklärung, auf das mit der Intervallschachtelung wäre ich nie gekommen aber gut zu wissen fürs nächstest mal.

Vielen Dank nochmal.