nichtleere und beschränkte Teilmenge, Infimum

Question

Seien X und Y nichtleere und nach unten beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen.
Zeigen Sie:
(a) X∪Y und X+Y={x+y| x∈X, y∈Y} sind nichtleer und nach unten beschränkt.
(b)  inf(X+Y) = inf X + inf Y
(c)  inf(X∪Y) = min(infX, infY)

d)  Falls inf X ∉ X, so hat X nendlich viele Elemente.

Danke

Comments

Schreibfehler?

d)  Falls inf X ∉ X, so hat X nendlich viele Elemente

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d)  Falls inf X ∉ X, so hat X unendlich viele Elemente

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X ist offensichtlich eine Menge. Kann eine Menge Element von sich selbst sein? Oder ist X ∉ X selbstverständlich?

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inf X ∉ X   meint offenbar      inf ( X )  ∉ X.

Answer 1

Seien X und Y nichtleere und nach unten beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen.

(a) X∪Y und X+Y={x+y| x∈X, y∈Y} sind nichtleer und nach unten beschränkt.

(i)   Wegen  X ⊆ X∪Y  und X ≠∅  gilt auch    X∪Y ≠∅

(ii)  X ≠∅  und Y ≠∅  ==>   ∃ a∈X   ∃ b∈Y

==>   a+b   ∈   X+Y    ==>     X+Y  ≠∅

(iii)  X,Y nach unten beschränkt

Dann gibt es untere Schranke a für X und b für Y, also

      ==>    ∃ a∈ℝ  ∀x∈X   a≤ x  und 
                ∃ b∈ℝ    ∀y∈Y   b≤ y

    ==>     a+b ≤   x+y

Sei nun z∈ X+Y ==>   ∃ x∈X   ∃ y∈Y   z = x+y   also  a+b ≤  z

Also ist a+b eine untere Schranke für X+Y, also  X+Y nach

unten beschränkt.

(iv) wie bei (iii) zeigst du:

  ==>    ∃ a∈ℝ  ∀x∈X   a≤ x  und    ∃ b∈ℝ  ∀y∈Y   b≤ y

Sei nun m das Minimum von a und b.  Also gilt

sowohl für alle x∈X  als auch für alle y∈Y    m≤ x und m≤y .

Also ist m eine untere Schranke für X∪Y .