Es seien X, Y und Z Mengen, und f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen.
(a) • Zeigen Sie: Wenn es x1, x2 ∈ X gibt mit x1 6= x2 und f(x1) = f(x2), dann ist
g ◦ f : X → Z nicht injektiv.
• Folgern Sie: g ◦ f : X → Z ist injektiv =⇒ f ist injektiv.
(b) Zeigen Sie: g ◦ f : X → Z ist surjektiv =⇒ g ist surjektiv.
(c) Geben Sie Mengen X, Y , Z und Funktionen f : X → Y und g : Y → Z an, sodass g ◦ f
injektiv ist, aber g nicht.
(d) Geben Sie Mengen X, Y , Z und Funktionen f : X → Y und g : Y → Z an, sodass g ◦ f
surjektiv ist, aber f nicht.
(e) Sei f : N → N mit f(x) := x
2 + 2x + 1 fur alle x ∈ N. Gibt es eine Abbildung g : N → N,
so dass fur g ◦ f : N → N gilt g ◦ f = idN, das heißt, g ◦ f(x) = x fur alle x ∈ N?
