Folge Grösser und Kleiner

Question

Hallo

Wie kann ich Formell zeigen, dass für die rekursiv definierte Folge
$$x_1 = 1$$ $$x_{n+1} =  1 + \frac{1}{x_n}$$ gilt:
$$3/2 \leq x_n \leq 2$$
Für alle n grösser oder gleich 2

Comments

Dass x_n ≥ 2/3 ist, sollte klar sein. Meinst du x_n ≥ 3/2 ?

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ja du hast recht, ich habe es editiert

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Irgendwie verstehe ich die Folge auch nicht. Was wäre das nächste Glied?
$$1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$$

Answer 1

Beweis per Induktion über n.

Die Behauptung ist äquivalent zu (x_n - 3/2)·(x_n - 2) ≤ 0 und stimmt offenbar für n = 2. Falls die Aussage für ein n > 1 gilt, dann

   (x_n+1 - 3/2)·(x_n+1 - 2)
= (1/x_n - 1/2)·(1/x_n - 1)   (nach Definition der Folge)
= (2 - x_n)·(1 - x_n)/(2·x_n²) ≤ 0  (nach Induktionsvoraussetzung) ✓

Comments

Hallo

Könntest du mir nur noch das dritte Folgeglied aufschreiben, damit ich die rekursive Folge richtig verstehe

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x₃ = 1 + 1/x₂ = 1 + 1/2 = 3/2.

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Könntest du mir nur noch das dritte Folgeglied aufschreiben, ...

Wenn Du \(x_n\) als rationale Zahl schreibst, dann ist $$x_n = \frac{p_n}{q_n} \quad p_n,q_n \in \mathbb{N}$$ und \(x_{n+1}\) berechnet sich aus $$x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} = 1 + \frac{q_n}{p_n} = \frac{p_n + q_n}{p_n}$$ Die Folge ist also $$\frac{1}{1}, \frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{5}{3},\frac{8}{5},\frac{13}{8}, \dots$$ erkennst Du die Fibonacci-Zahlen?

Answer 2

Zeige es mit Induktion:

- Das zweite Folgenglied liegt zwischen 3/2 und 2

- Wenn ein Folgenglied  zwischen 3/2 und 2 liegt, trifft das auch für das nächste zu.

(Ebenfalls editiert).