Warum haben wir in der zweiten Komponente 0 ausgeschlossen? Was wäre sonst passiert?

Question

Sei M := Z × (Z \ {0}) und sei eine Relation ≈ auf M wie folgt gegeben:
Fur alle (a, b),(c, d) ∈ M gelte (a, b) ≈ (c, d) genau dann, wenn a · d = b · c ist.

Warum haben wir in der zweiten Komponente 0 ausgeschlossen? Was wäre sonst passiert?

Answer 1

Dann wäre b=0 und folglich a=0 oder d=0 gewesen. Dann ist die Relation keine Funktion mehr.

Comments

Dann ist die Relation keine Funktion mehr. 

Erstens wird das gar nicht verlangt und zweitens ist sie das sowieso nicht.

Answer 2

Das Ganze wird ja dahin führen, dass du im nächsten Schritt die Faktormenge betrachtest und darauf eine Addition und eine Multiplikation definieren möchtest (deine Relation ist aber keine Äq.rel. siehe unten). Du wirst dann den Quotientenkörper von Z erhalten, also die rationalen Zahlen Q.

Was heißt die Relation denn anschaulich?

$$ (a,b) \sim (b,c) \Leftrightarrow ad=bc \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$

(Die letzte Äquivalenz ist eher bildlich zu verstehen. Die Brüche sind noch gar nicht definiert.)

So aber wenn du jetzt 0 in der zweiten Komponente zulässt, bekommst du

(0,0) ~ (1,1)

Du bekommst also für dein neutrales Element \(\bar{\left(\frac{1}{1}\right)}\) (eig. eine Äq.klasse) der Multiplikation den Vertreter \(\frac{0}{0}\) und das macht dir des Weiteren die Konstruktion der Körperstruktur unmöglich.

Comments

Das ist der eher philosophische Teil meiner Antwort. Explizit betrachtet:

Wenn du die 0 nicht ausschließt ist deine Relation einfach keine Äquivalenzrelation, da nicht transitiv.

(0,1)~(0,0)

(0,0)~(1,1)

Aber

(0,1) steht nicht in Relation zu (1,1)