Was ist meine Lösungsmenge für diese Betragsungleichung |x-2|+|x-4|<1 ?

Question

gegeben ist der folgender Betrag:

|x-2|+|x-4<1

,für welchen ich alle x aus R bestimmen soll.

Nach langer rechnung komme ich auf das folgende:

$$(x<3,5 \lor 0≮ -1) \land(0<3 \lor x<2,5) \\ x<3,5 \land x<2,5 \\ x\in (2,5;3,5) $$

Ist dies korrekt, wenn ja was passiert mit 0<3?

Wird es wie eine konstante behandelt und ignoriert?

Hat diese Wert dennoch eine Bedeutung?

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx-2%7C%2B%7Cx-4%7C%3C1

Hast du falsch abgeschrieben?

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Ich habe richtig abgeschrieben, und so gerechnet in der Vorlesung. Wo genau ist mir der Fehler untergekommen bzw. wie beweise ich dass es keine Lösungsmenge gibt?

Answer 1

Hallo greycardinal,

Weil die Rechnung stimmt. Hier nochmal: ...

Du hast am Anfang bereits den Fehler gemacht \(\land\) statt \(\lor\) zu schreiben und anschließend immer die zusätzliche Bedingung für das \(x\)  unterschlagen, für die das Auflösen der Betragsstriche gilt. Ein Beispiel:

$$\begin{aligned} |x-1| \gt 2 &= (x-1 \gt 2 \colorbox{#ffff00}{∧x ≥1} ) \lor (-(x-1) \gt 2 \colorbox{#ffff00}{∧ x ≤ 1} ) \\ &= (x \gt 3 \land x \ge 1 ) \lor (x \lt -1 \land x \lt 1 ) \\ &= x \gt 3 \lor x \lt -1  \end{aligned}$$

Wie beweise ich dass die Lösungsmenge leer ist, via rechnung?

In Deinem Fall ist die Rechnung wie folgt: $$\begin{aligned}&|x-2|+|x-4| < 1 \\ &= (x-2+|x-4| < 1 \land x \ge 2) \lor (-(x-2)+|x-4| < 1 \land x \lt 2) \\ &= (x+|x-4| < 3 \land x \ge 2) \lor (-x+|x-4| < -1 \land x \lt 2) \\ &= (((x+x-4 < 3 \land x \ge 4) \lor (x-(x-4) < 3 \land x \lt 4)) \land x \ge 2) \\ &\quad \lor (((-x+x-4 < -1 \land x \ge 4) \lor (-x-(x-4) < -1 \land x \lt 4)) \land x \lt 2) \\ &= ((\underbrace{(x < \frac72 \land x \ge 4)}_{=\text{falsch}} \lor (\underbrace{4 < 3}_{=\text{falsch}} \land x \lt 4)) \land x \ge 2) \\ &\quad \lor (((\underbrace{-4 < -1}_{=\text{wahr}} \land x \ge 4) \lor (x > \frac52 \land x \lt 4)) \land x \lt 2)\\ &= \text{falsch} \lor ((x \ge 4 \lor (x > \frac52 \land x \lt 4)) \land x \lt 2)\\ &= \underbrace{(x \ge 4 \land x \lt 2)}_{=\text{falsch}} \lor \underbrace{(x > \frac52 \land x \lt 4 \land x \lt 2)}_{=\text{falsch}}\\ &= \text{falsch}\\ \end{aligned}$$ als Bestätigung noch ein Plot von $$|x-2| + |x-4| < 1$$ ~plot~ abs(x-2)+abs(x-4);1;[[-3|9|-2|5]] ~plot~ der linke Term unterschreitet nie die Linie \(y=1\).

Answer 2

Die Betragsungleichung$$\left|x-2\right|+\left|x-4\right|\lt1$$beschreibt alle reellen Zahlen \(x\) auf der Zahlengeraden, deren Abstandssumme zu den Zahlen \(2\) und \(4\) kleiner als \(2\) ist. Solche Zahlen gibt es aber gar nicht, da die kleinstmögliche Abstandssumme, das ist der Abstand der beiden Zahlen \(2\) und \(4\) selbst, bereits \(2\) beträgt. Dies kann auch ohne jede Rechnung festgestellt werden.

Answer 3

Setze zur Probe irgendeinen Wert aus deinem angeblichen Lösungsintervall in die Ungleichung ein und bemerke deinen Irrtum.

Comments

Habe ich etwa die Lösungsmenge falsch aufgeschrieben?

Weil die Rechnung stimmt. Hier nochmal:

$$|x-2|+|x-4|<1\Longrightarrow (x-2+|x-4|<1) \land (-(x-2)+|x-4|<1) \\ \Longrightarrow (x-2+x-4<1 \lor x-2-(x-4)<1) \land (-(x-2)+x-4<1 \lor -(x-2)-(x-4)<1) \\ \Longrightarrow (2x<1+4+2 \lor x-x<1-4+2)\land (-x+x<1+4-2 \lor -x-x<1-2-4) \\ \Longrightarrow (x<3,5 \lor 0 ≮-1) \land (0<3 \lor x<2,5) \\ x<3,5 \land x<2,5 \\ x\in (2,5;3,5) $$

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Oder sollte ich die lösungsmenge so aufschreiben?

$$ x<3,5 \land x<2,5 \\ \\x1: 3,5 \Longrightarrow 1≮1 \\\lor x2:2.5 \Longrightarrow -1<1 \\x\in (2,5)$$

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"Weil die Rechnung stimmt. Hier nochmal:"

Nein. Es gibt KEINE EINZIGE Zahl x, die die Ungleichung erfüllt.

Die Lösungsmenge ist LEER.

Setze zur Probe x=5, x=4, x=3, x=2 und x=1 ein.

Die Summe der beiden Beträge ist immer größer als 1.

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Wie beweise ich dass die Lösungsmenge leer ist, via rechnung?

Answer 4

Mach eine Fallunterscheidung:

x<2

2<=x<4

x>=4

Alle Fälle führen zu Widersprüchen.