Lineare Funktion aufstellen für abgesetzte Menge

Question

Es soll eine lineare Funktion aufgestellt werden, welche die absetzbare Menge in Abhängigkeit des veranschlagten Preises beschreibt. 

Die Schüler haben folgende Tabelle aufgestellt:

Preis pro Stück.                 absetzbare Menge

0,5                                      94

0,75                                    81

1                                         69

1,25                                    43

1,5                                      17

Weiß jemand wie das geht ?

Answer 1

Es gibt keine lineare Funktion, welche die Werte der Tabelle exakt beschreibt. Man kann jedoch beispielsweise mit der Methode der kleinsten Quadrate eine Ausgleichsgerade berechnen, welche die Werte nährungsweise beschreibt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate#Lineare_Modellfunktion

Im konkreten Fall erhält man mit Methode der kleinsten Quadrate:

\((\text{absetzbare Menge})\approx-76{,}8\cdot(\text{Preis pro Stück})+137{,}6\)

[Das habe ich meinen PC rechnen lassen, da ich zu faul war, das jetzt von Hand vorzurechnen.]

~plot~ -76.8*x+137.6; {0,5|94}; {0,75|81}; {1|69}; {1,25|43}; {1,5|17}; [[-0,1|2|-5|105]] ~plot~

Comments

danke vielmals, nur weiß ich nicht wie man es rechnet :D

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Ausführlich beschrieben in

https://www.mathelounge.de/529251/artikel-regression-berechnung-regressionskoeffizienten

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Im verlinkten Wikipedia-Artikel ...

https://de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate#Lineare_Modellfunktion

... ist das Verfahren beschrieben und auch ein Beispiel vorgerechenet.

Analog zum Wikipedia-Beispiel, rechne ich dir das mal für dein Beispiel vor.

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Nummer	Preis pro Stück	absetzbare Menge	\(\left(x_i-\bar{x}\right)\)	\(\left(y_i-\bar{y}\right)\)
\(i\)	\(x_i\)	\(y_i\)	\(x_i^*\)	\(y_i^*\)	\(x_i^*\cdot y_i^*\)	\(x_i^*\cdot x_i^*\)
1	0,5	94	-0,5	33,2	-16,6	0,25
2	0,75	81	-0,25	20,2	-5,05	0,0625
3	1	69	0	8,2	0	0
4	1,25	43	0,25	-17,8	-4,45	0,0625
5	1,5	17	0,5	-43,8	-21,9	0,25
\(\Sigma\)	5	304	0	0	-48	0,625

\(\bar{x}=\frac{1}{5}\cdot\sum_{i=1}^{5}x_i=\frac{1}{5}\cdot 5=1\)
\(\bar{y}=\frac{1}{5}\cdot\sum_{i=1}^{5}y_i=\frac{1}{5}\cdot 304=60{,}8\)

\(\alpha_1=\frac{\sum_{i=1}^{5}\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{5}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}=\frac{-48}{0{,}625}=-76{,}8\)

\(\alpha_0=\bar{y}-\alpha_1\cdot\bar{x}=60{,}8-\left(-76{,}8\right)\cdot1=137,6\)

Damit hat man die Parameter \(\alpha_0, \alpha_1\) der Ausgleichsgeraden bestimmt.

Answer 2

Hallo lia,

da die x-Werte gleichmäßig um 0,25 zunehmen und die y-Werte ungleichmäßig annehmen, gibt es keine genaue lineare Funktion. Du kannst aber als Näherungslösung die Regressionsgerade ausrechnen:

y ≈  -76,8 · x - 137,6 

Die Koeffizienten b=-76,8 und a=-137,6 der  Regressionsgeraden  y = b * x + a  erhält man aus:

\(\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4&x_5\end{pmatrix}\) * \(\begin{pmatrix} 1&x_1\\ 1&x_2\\ 1&x_3\\1&x_4\\1&x_5\end{pmatrix}\) * \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) 

                                              =    \(\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4&x_5\end{pmatrix}\)  *  \(\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\y_4\\y_5\end{pmatrix}\)

xi und yi  einsetzen, farbige Matrixmultiplikationen ausführen  und dann  das LGS  lösen.

A * \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\)  =  B 

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Das kannst du mit diesem Online-Rechner berechnen:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/regr.htm

Gruß Wolfgang

Comments

Wie funktioniert die Internetseite ? oder kann man das auch selbst rechnen ?

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Wie funktioniert die Internetseite ?

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/regr.htm

      (einfach anklicken!) 

Eingabe in den Rechner: 
Wertepaare      xi  und  zi  durch ein Leerzeichen getrennt
x1    z1
...
x4    z4
Bei Terme musst du unten "Gerade" anklicken
Dann "Regression" anklicken.
Im rechten Feld erscheint dann alles, was man wissen will.

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oder kann man das auch selbst rechnen ?

das ist in der Antwort beschrieben (wenn du mit Matrizen rechnen kannst)

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oder mit Summenformeln: 

\( \begin{pmatrix} 5& \sum\limits_{i=1}^{5} x_i \\ \sum\limits_{i=1}^{5} x_i&\sum\limits_{i=1}^{5} x_i^2\end{pmatrix} \) • \(\begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} \)  =  \( \begin{pmatrix} \sum\limits_{i=1}^{5} y_i \\ \sum\limits_{i=1}^{5} (x_i·y_i)\end{pmatrix} \)