Lineares Gleichungssystem mit Parameter - Wie fange ich an?

Question

Gegeben ist: 

(a²+2a-4)x₃ = -3a²-3a

x₁ - x₂ = a

(-2a²-2a)x₃ = 6a² + 6a

-2x₂ - 2ax₃ = 3a - 1

Aufgabe lautet: Für welche reellen Zahlen anstelle von an das LGS eindeutig, mehrdeutig oder unlösbar ist. 

Mein Problem ist, dass ich nicht weiss, wie ich hier anfangen soll.

 

Gruß

 

Daniel

Comments

Allgemein: LGS ist loesbar, wenn die Anzahl der Variablen gleich der Anzahl der Gleichungen ist. LGS ist unlösbar, wenn die Anzahl der Variablen groesser als die Anzahl der Gleichung ist. LGS ist überbestimmt , wenn die Anzahl der Variablen kleiner als die Anzahl der Gleichungen ist.

Answer 1

Man hat hier 4 Gleichungen und 4 Unbekannte  ,x1,x2,x3 ,a

Start mit der dritten Gleichung,nach x3 auflösen

Distributivgetze anwenden, dann lautet sie:

-2a(a+1)*x=6a(a+1)      | /(a+1)

          -2ax=6a              | /(-2a)

                x=-3                                             ⇒x₃= -3

in die erste Gleichung einsetzen

              (a²+2a-4)*(-3)=-3a²-3a

             -3a²-6a+12      =-3a²-3a                 |  +3a²  ,  +6a

                                12 =3a      ⇒                  a=4

nun beide Ergebnisse in die vierte Gleichung einsetzen

-2x₂-3*4*(-3)=3*4-1

-2x₂ +36        =11         |-36 ,/(-2)

                                                                  x₂ =12,5

nun die zweite Gleichung

x₁ -12,5=4       |+12,5

                                                                   x₁=16,5

Lösung  (16,5 ;12,5; -3; 4)

 

Comments

Wenn das ein lineares Gleichungssystem sein soll, ist a keine Unbekannte sondern ein Parameter. Je nach Wert von a ist es eindeutig lösbar.

Nach deiner Rechnung gilt: für a=4 ist das LGS lösbar. - Die Lösung für x₁, x₂… ist angegeben.

Ist a≠4 , ist das LGS nicht lösbar.

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Fälle a=0 und a= -1. vlg. LSG. von Mathecoach

Answer 2

 

(-2a^2 - 2a)x₃ = 6a^2 + 6a

-2a(a + 1)x3 = 6a(a + 1)

 

x3 = -3

Für a = 0 und a = -1 immer erfüllt für andere a muss x3 = -3 sein

 

(a²+2a-4)x₃ = -3a²-3a

Für a = 0 muss x3 = 0

Für a = -1 muss x3 = 0

(a + 1 + Wurzel(5))(a + 1 - Wurzel(5))x3 =  -3a/(a + 1)

Für a = +- Wurzel(5) nicht erfüllt.

 

 

(a²+2a-4)*(-3) = -3a²-3a

-3a^2 - 6a + 12 = -3a^2 - 3a

 

-3a = -12

a = 4

Lösbar ist es für a = 0, a = -1 oder a = 4

Für alle anderen a ist es unlösbar.