Schatzsuche mit komplexen Zahlen

Question

Hallo ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sie sind Mitglied einer Crew, die auf dem Planeten Komplexupiter einen Schatz suchen soll. Mit Ihren Ingenieurskenntnissen sollen Sie die Crew durch Ihr Wissen über die komplexen Zahlen unterstützen. Die Schatzkarte liest sich wie folgt:
Gehe von der Alabasterstatue A
direkt zur Batteriezelle B,dann ebenso viele Schritte unter rechtem Winkel nach links - Stecke die erste Fahne F1.
Gehe nun von der Alabasterstatue direkt zur Cryo-Schlafkapsel C
und anschließend die gleiche Anzahl an Schritten unter rechtem Winkel nach rechts - Stecke die zweite Fahne F2.
Der Schatz befindet sich genau in der Mitte zwischen den beiden Fahnen.
Auf Komplexupiter angekommen, stellt die Crew mit Bedauern fest, dass die Alabasterstatue von Weltraumpiraten entwendet wurde. Bevor die Crew jedoch die Schatzsuche aufgibt, sollen Sie sich dem Problem annehmen.
Fertigen Sie eine Skizze von der Schatzkarte an und überlegen Sie sich in welcher Weise die Lage des Schatzes von dem Startpunkt abhängt. Geben Sie schließlich die Koordinaten S=X+iY

des Schatzes in Abhängigkeit von den Punkten B und C an:
X=_______

Y=_______

Ich benötige Hilfe ich komme überhaupt nicht weiter ich danke vielmals recht herzlich im Voraus;-)

Answer 1

Hallo luana,

eine schöne Aufgabe! Mal angenommen, alle Positionen sind Elemente der komplexen Ebene. Eine Linksdrehung eines Weges in der komplexen Ebene entspricht der Multiplikation mit der imaginären Einheit \(i\) und eine Rechtsdrehung ist eine Multiplikation mit \(-i\). Zunächst eine Prinzipskizze:

Z.B. ist $$\vec{BF_1} = \vec{AB} \cdot i = (B-A)i$$ dann kann man die Wege von den bekannten Punkten \(B\) und \(C\) zu den Fahnen \(F_1\) und \(F_2\) wie folgt beschreiben $$\begin{aligned} \vec{BF_1} &= F_1 - B = \vec{AB} \cdot i = (B-A)i \\ \vec{CF_2}&= F_2 - C = \vec{AC} \cdot (-i) = (C-A)(-i)\end{aligned}$$ beide Gleichung addiere ich $$F_1 + F_2 - (B+C) = Bi - Ai -Ci + Ai =(B-C) i$$ Jetzt nach \(F_1+F_2\) auflösen und noch durch 2 dividieren $$\frac12 (F_1+F_2) = \frac12(B+C) + \frac12 (B-C)i = S$$ und dies ist genau die Mitte zwischen \(F_1\) und \(F_2\) und damit die Position des Schatzes.

Diese Gleichung lässt sich graphisch interpretieren

Der Term \((B+C)/2\) ist die Mitte zwischen den Punkten \(B\) und \(C\). Und der Weg \((B-C)i/2\) steht im rechten Winkel auf der Geraden durch \(BC\) und hat die Länge \(|CB|/2\).

Gruß Werner

Comments

danke vielmals Werner Salomon hab es dank deiner Erklärung endlich verstanden :-))