Schatzsuche mit komplexen Zahlen (Bonusaufgabe)

Question

Aufgabe:

Bonusaufgabe: (Schatzsuche) “Auf der Schatzinsel ist ein kleiner Baum B1 und ein großer Baum B2, sowie ein Kreuz X. Gehe vom Kreuz nach B1 und noch einmal genauso lang weiter und um dieselbe Strecke nach links (90◦) um die Ecke. Markiere diese Stelle M1. Geht man vom Baum B2 zum Kreuz X und links um 90◦ dieselbe Strecke verlängert, ergibt dies einen zweiten Punkt M2. Der Schatz ist in der Mitte zwischen M1 und M2 vergraben.”
Behauptung: Das Kreuz X ist verschwunden, aber der Schatz lässt sich trotzdem finden.
Hinweis: Benutzen Sie die komplexen Zahlen.

Problem/Ansatz:

Hallöchen kann einer mir bei dieser Bonusaufgabe helfen

Comments

Hallo

hast du das skizziert?  oder mit komplexen Zahlen modelliert? Eine Bonusaufgabe sollte dich ja zum Denken bringen, und die komplexen Zahlen sind ein netter Hinweis.

Gruß lul

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Ja habe schon skizziert aber was nicht in das richtig ist :)

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Vom Duplikat:

Titel: (Schatzsuche) B1, B2 und X

Stichworte: basis

(Schatzsuche)  ,,Auf der Schatzinsel ist ein kleiner Baum B1 und ein großer Baum B2, sowie ein Kreuz X. Gehe vom Kreuz nach B1 und noch einmal genauso lang weiter und um die selbe Strecke nach links (90°) um die Ecke. Markiere Diese stelle M1. Geht man von Baum B2 zum Kreuz X und links um 90° dieselbe Strecke verlängert, ergibt dies einen zweiten Punkt M2. Der Schatz ist in der Mitte zwischen M1 und M2 vergraben"

Behauptung: Das Kreuz X ist verschwunden, aber der Schatz lässt sich trotzdem finden.

Hinweis: Benutzen Sie die komplexen Zahlen

Ich weiß ehrlich nicht, was ich mit dem Hinweis anfangen kann. Wenn einer unter euch diese Aufgabe versteht, wäre es nett, wenn ihr euer Ergebnis mit mir teilen würdet ^^'

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@Schüler: Bitte die Suche verwenden, bevor du eine Frage neu einstellst. Dann die vorhandenen Antworten studieren und direkt kommentieren, sofern das betreffende Mitglied noch regelmässig aktiv ist. Danke

Answer 1

Bestimme zunächst mal allgemein die Koordinaten in Komplexen Zahlen.

X = a + b·i
B1 = c + d·i
B2 = e + f·i

Bestimme jetzt z.B. M1

M1 = (a + b·i) + ((c + d·i) - (a + b·i)) + ((c + d·i) - (a + b·i)) + i·((c + d·i) - (a + b·i))
M1 = - a·(i + 1) + b·(1 - i) + c·(i + 2) + d·(2·i - 1)

Das selbe machst du jetzt mit M2 und Dem Mittelpunkt M zwischen M1 und M2. Du solltest sehen das M nicht mehr abhängig von a und b ist.

M = (c·(i + 2) + d·(2·i - 1) - e·i + f)/2

Answer 2

Hallo,

das ganze als CindyJS-Applet:

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/cnervufm/9/

bewege den schwarzen Punkt (alias 'das Kreuz') mit der Maus. Du wirst sehen, dass sich die Position des Schatzes nicht verändert. Im folgenden noch der formale Beweis. \(b_1\) und \(b_2\) seine die Positionen der Bäume und \(k\) die Position des Kreuzes: $$b_1,\, b_2,\, k \in \mathbb C\\ \begin{aligned} m_1 &= b_1 + (b_1-k) + (b_1-k)i \\ &= 2b_1 - k + (b_1-k)i\\ m_2 &= b_2 + (k-b_2) + (k-b_2)i \\ &= k + (k-b_2)i\\ s &= \frac 12 (m_1 + m_2) \\&= \frac12( 2b_1 - k + (b_1-k)i + k + (k-b_2)i ) \\ &= \frac 12 (2b_1 + (b_1-b_2)i) \\ &= b_1  + \frac{b_1-b_2}{2} i \\ &\ne f(k) \end{aligned}$$eine Aufsplittung in Real- und Imaginärteil ist dazu nicht notwendig. Das Ergebnis wird oben im Bild durch den roten Pfeil angezeigt.

Comments

Von wo kommt dieses ,,k" wenn ich fragen darf ^^' ging es nicht um ein ,,x" ?

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Von wo kommt dieses ,,k" wenn ich fragen darf ^^' ging es nicht um ein ,,x" ?

Die Koordinate vom Kreuz X in der komplexen Zahlenebene habe ich in meiner Antwort \(k\) genannt. Aber man kann sie auch \(x\) nennen:$$b_1,\, b_2,\, x \in \mathbb C\\ \begin{aligned} m_1 &= b_1 + (b_1-x) + (b_1-x)i \\ &= 2b_1 - x + (b_1-x)i\\ m_2 &= b_2 + (x-b_2) + (x-b_2)i \\ &= x + (x-b_2)i\\ s &= \frac 12 (m_1 + m_2) \\&= \frac12( 2b_1 - x + (b_1-x)i + x + (x-b_2)i ) \\ &= \frac 12 (2b_1 + (b_1-b_2)i) \\ &= b_1  + \frac{b_1-b_2}{2} i \\ &\ne f(x) \end{aligned}$$

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Achso okei, danke dir!