Relationseigenschaften als prädikatenlogische Formeln und Interpretation

Question

Hallo

Wir haben eine Aufgabe bekommen bei der wir die Relationseigenschaften als prädikatenlogische Formeln angeben sollen in Form von R⊆ℕ^2

Dazu habe ich folgendes:

Reflexiv: ∀x P(x,x)

Symmetrisch: ∀x∀y P(x,y) → Q(y,x)

Antisymmetrisch: ∀x∀y (P(x,y) ∧ Q(y,x)) → T(x,y)

Asymmetrisch: ∀x∀y P(x,y) → ¬Q(y,x)

Transitiv: ∀x∀y∀z (P(x,y) ∧ Q(y,z)) → T(x,z)

Alternativ: ∀x∀y P(x,y) ∨ Q(y,x)

Dazu soll ich nun auch Interpretationen finden die die Formeln wahr werden lassen. Aber wie genau mache ich das? Muss ich konkrete Werte angeben oder nur "Mengen"?

Reflexiv: ℑ(P)={x: x ∈ ℕ^2}

Symmetrisch: ℑ(P) = {x: x ∈ ℕ^2 ∧ y: y ∈ ℕ^2} und ℑ(Q) = {x: x ∈ ℕ^2 ∧ y: y ∈ ℕ^2}

Antisymmetrisch: ℑ(P) = {x: x ∈ ℕ^2 ∧ y: y ∈ ℕ^2} und ℑ(Q) = {x: x ∈ ℕ^2 ∧ y: y ∈ ℕ^2} und ℑ(T)={x = y}

Asymmetrisch: ℑ(P) = {x: x ∈ ℕ^2 ∧ y: y ∈ ℕ^2} und ℑ(Q) = {x: x ∈ ℕ^2 ∧ y: y ∈ ℕ^2}

Transitiv: ℑ(P) = {x: x ∈ ℕ^2 ∧ y: y ∈ ℕ^2} und ℑ(Q) = {z: z ∈ ℕ^2 ∧ y: y ∈ ℕ^2} und ℑ(T)={x = z}

Alternativ: ℑ(P) = {x: x ∈ ℕ^2 ∧ y: y ∈ ℕ^2} und ℑ(Q) = {x: x ∈ ℕ^2 ∧ y: y ∈ ℕ^2}

Answer 1

Du musst immer auch ein Universum D angeben, Also $$D=\mathbb{N}^2$$ und deine Funktion P gibt ja wahrheitswerte aus, also $$ℑ(P)(x,x)= (x==x)$$ z.B.