Bestimme B so, dass die Leitung möglichst steil verläuft./ Ab welcher Höhe über H ist dieser Punkt zu sehen?

Question

Aufgabe:

Der Graph Gf der Funktion f mit der Gleichung \( f(x)=-\frac{1}{8} x^{3}+\frac{3}{4} x^{2} \) beschreibt zwischen den Hochpunkt H von Gf und dem Punkt P(-2/ f(-2)) modellhaft das Profil eines Flusstales. Das Profil des angrenzenden Geländes verläuft von H horizontal, von P aus in Richtung der Geraden durch P und den Punkt Q (3/f(3)).

b) Von H soll eine unterirdische, gerade Leitung ausgehen und im Punkt B(u/f(u)) mit 0<u<4 ins Tal münden. Bestimmen Sie B so, dass die Leitung möglichst steil verläuft.

c) Bei Trockenheit ist der Wasserspiegel bis zum Punkt R(-1/f(-1)) abgesunken. Ab welcher Höhe über H ist dieser Punkt zu sehen?

Answer 1

Ich mache zunächst mal eine kleine Skizze:

b) Von H soll eine unterirdische, gerade Leitung ausgehen und im Punkt B(u/f(u)) mit 0<u<4 ins Tal münden. Bestimmen Sie B so, dass die Leitung möglichst steil verläuft.

Damit die Leitung möglichst steil ist müssen wir durch H eine Tangente an f legen, die ihren Berührpunkt in B hat.

(f(u) - 4) / (u - 4) = f'(u)

(- u^3/8 + 3/4·u^2 - 4) / (u - 4) = 3/2·u - 3/8·u^2
- u^2/8 + u/4 + 1 = 3/2·u - 3/8·u^2
u^2/4 - 5·u/4 + 1 = 0
u^2 - 5·u + 4 = 0
u = 4 ∨ u = 1

f(1) = 5/8 = 0.625

Der Punkt ist (1, 0.625)

Skizze:

c) Bei Trockenheit ist der Wasserspiegel bis zum Punkt R(-1/f(-1)) abgesunken. Ab welcher Höhe über H ist dieser Punkt zu sehen?

Du legst jetzt nach dem obigen Schema eine Tangente von R an f und bestimmst dann den Funktionswert der Tangente an der Stelle 4.

Dann bestimmst du die Höhendifferenz zu H.