Vektorregeln aus Vektoraxiomen richtig interpretieren.

Question

zzg. ist, dass folgende Rechenregeln sich aus den Vektoraxiomen ableiten lassen.

Lösungsansätze habe ich, wirken für mich jedoch als zu einfach/ zu wenig Aussagekräftig.

Sei K ein K¨orper und V ein K-Vektorraum. Zeigen Sie, dass für alle λ, γ ∈ K, v ∈ V
gilt:
(i) 0 · v = 0.                                
(ii) (−λ) · v = −(λ · v).
(iii) Aus v≠0 und λ≠ γ folgt λ · v ≠ γ · v.

zu (i) habe ich gezeigt: 0·v = (0+0) · v

                                           =0·v + 0·v

                                      0=0·v

Reicht solch ein Beweiß?

Danke

Answer 1

zu (i) habe ich gezeigt: 0·v = (0+0) · v

                         <=>           0v      =0·v + 0·v   | -0v

                         <=>             0=0·v

Ich denke, so reicht das.

bei (ii) vielleicht so:   (−λ) · v = −(λ · v).

Das heißt ja:   (−λ) · v ist das additive Inverse zu (λ · v).

Dann muss gelten (−λ) · v   +  (λ · v)  = 0

<=>    (−λ+λ)  · v  = 0

<=>             0 · v  = 0    stimmt, siehe (i).

Comments

Super Danke.

Kann man (iii) mithilfe eines Gegenbeweißes, sprich λ= γ, beweißen?

also (λ + γ) ·v = (γ·v) + (γ·v) ≠ 0