Es sei K ein angeordneter Körper. Ungleichungen |ab| ≤ 1/(2λ)x a2 + λ/(2) x b2 und 4ab ≤ (a + b)2 zeigen

Question

Es sei K ein angeordneter K¨orper und seien a, b, λ ∈ K mit λ > 0. Beweisen Sie die
Ungleichungen
|ab| ≤ 1/(2λ)x a² + λ/(2) x b²
und 4ab ≤ (a + b)²
.
Erinnerung: Es ist 4 := 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 und x² := x · x fur x ∈ K.
Hinweis: Betrachten Sie (a ± λb)²

Könnte mir jemand bei folgender Aufgabe bitte helfen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Sei (K, +, ·) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie die Ungleichung 4ab ≤ (a + b)²

Stichworte: körper,beweis,ungleichungen

Sei (K, +, ·) ein angeordneter Körper und seien a, b, λ ∈ K mit λ > 0. Beweisen Sie die Ungleichungen 

1. | ab | ≤ (1/2λ) a² + (λ/2)b²

   und

   1. 4ab ≤ (a + b)²

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Vom Duplikat:

Titel: Es sei K ein angeordneter Körper und seien a, b, λ ∈ K mit λ > 0

Stichworte: körper

Es sei K ein angeordneter Körper und seien a, b, λ ∈ K mit λ > 0. Beweisen Sie die
Ungleichungen
|ab| ≤ 1/(2λ)a² + λ/2 b²

und 4ab ≤ (a + b)²
.
Erinnerung: Es ist 4 := 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 und x² := x · x fur  x ∈ K.
Hinweis: Betrachten Sie (a ± λb)²

---

Vom Duplikat:

Titel: Es sei K ein angeordneter Körper und seien a, b, λ ∈ K mit λ > 0. Ungleichung 4ab ≤ (a + b)² zeigen.

Stichworte: körper,angeordnet,ungleichungen

Es sei K ein angeordneter Körper und seien a, b, λ ∈ K mit λ > 0. Beweisen Sie die Ungleichungen 

Erinnnerung 4:= 1+1+1+1 = 2+2 und x² := x*x für x Element K.

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe bitte helfen?

Ungleichung 4ab ≤ (a + b)² zeigen.

Answer 1

Die 2. ist einfach:

Es gelten ja die Körperaxiome, also auch die binomischen Formeln

4ab ≤ (a+b)²

<=>  4ab ≤ a² + 2ab + b²

<=>  0  ≤  a² - 2ab + b²

<=> 0 ≤  (a-b) ²

Und Quadrate sind nie kleiner als 0.  q.e.d

Und bei dem ersten vielleicht so:

(a-λb)² ≥ 0

a²  - 2λab  + λ² b²   ≥ 0   | :2λ  (ist ja > 0 )

a² /2λ  - ab  + λb² / 2   ≥ 0

a² /2λ    + λb² / 2   ≥   ab

und für positives ab ist die Sache dann ja klar.

Im anderen Fall hilft wohl der Ansatz

(a+λb)² ≥ 0

Answer 2

| ab | ≤ (1/2λ) a² + (λ/2)b²    | - | ab |   

  0  ≤ (1/2λ) a²  -  | ab |  + (λ/2)b²      | * (1/2λ)  (Das ist dann auch > 0 )

  0  ≤ a²  - 2λ | ab |  + (λb)²     



  0  ≤ ( a  - λ|b|)²     und Quadrate sind immer ≥ 0

2 so ähnlich

4ab ≤ a²  + 2ab   + b²  



0  ≤ a²  - 2ab   + b²  

  0  ≤ ( a  -b)²   


  

Comments

ich verstehe erstens nicht ganz..

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Sehe jetzt auch, dass da irgendwie ein Rechenfehler

drin ist.  Wäre so schön gewesen das Ergebnis.

Stimmt denn die Formel

| ab | ≤ (1/2λ) a² + (λ/2)b²

im Sinne von

| ab | ≤ (1/(2λ)) a² + (λ/2)b²

oder ist da vielleicht auch schon ein Tippfehler drin ?