Zinsrechnung und Folgen

Question

Eine Gemeinde legte ein Kapitla 6% p.a. an, das in 20 Jahren auf 360000 GE anwachsen und dann zum Bau eines Seniorenheimes verwendet werden soll. Nach 12 Jahren muss die Bank den jährlichen Zinssatz herabsetzen. Um dennoch in der festgesetzten Zeit die erforderliche Endsumme zu erreichen, legt die Gemeinde zu diesem Zeitpunkt einen Beitrag von 52860,46 GE hinzu. Um wie viele Prozentpunkte ist der jährliche Zinssatz von der Bank gesenkt worden?

Answer 1

Eine Gemeinde legte ein Kapitla 6% p.a. an, das in 20 Jahren auf 360000 GE anwachsen [...] soll

Für das angelegte Kapital K gilt

        360000 = K · (1 + 6/100)²⁰.

Löse nach K auf.

Nach 12 Jahren muss die Bank den jährlichen Zinssatz herabsetzen

Das Kapital K₁₂ beträgt zu diesem Zeitpunkt

        K₁₂ = K · (1 + 6/100)¹².

Weil K mittlerweile bekannt ist, kannst du K₁₂ ausrechnen.

Für den neuen Zinssatz verwende ich z %.

legt die Gemeinde zu diesem Zeitpunkt einen Beitrag von 52860,46 GE hinzu.

Dann wird das Kapital (K₁₂ + 52860,46) mit dem Zinssatz z % über 20-12 = 8 Jahre verzinst um 360000 zu erhalten:

        360000 = (K₁₂ + 52860,46) · (1 + z/100)⁸.

Löse nach z auf.

Der Zinssatz wurde um 6 - z Prozentpunkte gesenkt.

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Vielen Dank für die rasche Antwort hat mir sehr geholfen.

mfg

Answer 2

ursprünglich war gedacht.

k*1,06^20 = 360000

k*3,207 =360000

k=112249,70 ≈  112250

Nach 12 Jahren sind es also

112250 * 1,06^12 = 225868,45

Da kommen  52860,46 dazu, das sind dann

278728,91

und die werden jetzt noch 8 Jahre verzinst, um auf

360000 zu kommen

278728,91 * (1+p)^8 = 360000

(1+p)^8 = 1,2916     8. Wurzel

1+p = 1,0325

p=3,25%  . Der Zinssatz von 6% wurde also

um 2,75 %-Punkte gesenkt.

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Vielen Dank für die rasche Antwort hat mir sehr geholfen.

mfg

Answer 3

Das angelegte Kapital K_t nach t Jahren berechnet sich in diesem Falle mit der Formel K_t=1,06^t·K₀. Damit kann man Ausrechnen, welcher Betrag K₀ zu Beginn angelegt wurde. Dann rechnet man mit der genannten Formel den Betrag K₁₂ nach 12 Jahren aus. Das zugelegte Geld Z muss den Zinsverlust der folgenden 8 Jahre ausgleichen. Für den gesenkten Zinssatz p gilt also: K₁₂+Z=(1+p/100)⁸·K₁₂.