Zeige: Die komplexen Lösungen von z^3 = 1 bilden ein gleichseitiges Dreieck

Question

İch muss zeigen, dass die komplexe  Lösungen von z^3=1 die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks in der komplexen Zahlenebene ist.

Ich weiß leider noch nicht einmal Ansatzweise, was ich hier tun soll.

Könnte mir vielleicht jemand einen Ansatz erklären.

Wäre echt super!

Comments

Das ist vielleicht eine Fortsetzung von https://www.mathelounge.de/584734/reelle-faktorzerlegung-von-z-3-1

Wenn ja, ist es nicht verboten, die Resultate der vorherigen Aufgabe zu benutzen.

Answer 1

"Ich weiß leider noch nicht einmal Ansatzweise, was ich hier tun soll."

Berechne doch einfach erst einmal diese drei Lösungen.

Suche dazu in deinen Unterlagen nach der Formel von Moivre.

Answer 2

Die Lösungen (die dritten Einheitswurzeln) wurden schon mehrfach berechnet. Z.B. hier: https://www.mathelounge.de/78513/losen-folgenden-gleichungen-bereich-der-komplexen-zahlen

Mit dem Satz von Moivre geht es sogar noch schneller. Nur: Der besagt schon, dass die Lösungen die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks sind.

Beweisen kannst du Gleichseitigkeit, indem du die Beträge | zi - zj | berechnest. Da sollte immer dasselbe herauskommen, wenn i ≠ j.