Verständnisfrage zum Widerspruchsbeweis

Question

Bei einem Direkten Beweis möchte man ja zeigen, dass  wenn A gilt, auch B gilt, also A -> B.

Bei der Kontraposition sagt man, wenn B nicht gilt, dann gilt auch A nicht, also  nicht B -> nicht A.

Und bei einem indirekten Beweis (Widerspruchsbeweis) will man zeigen, wenn A gilt und B nicht, dann ist dies ein Widerspruch, also A -> nicht B?

Ein Beispiel (Es geht nur um die richtige Umformung bezüglich des indirekten Beweises, die allgemeine Richtigkeit der logischen Aussage soll jetzt keine Rolle spielen)

Beispiel:

Aussage: $$(a\wedge \neg b)\longrightarrow \neg (d\vee f)$$

Nun möchte ich diese Aussage als Widerspruchsaussage darstellen, nur ich weiß nicht so recht wie.

Vielleicht so hier:

$$(a\wedge \neg b)\longrightarrow (d\vee f)$$

Bedanke mich im Voraus für eure hilfreichen Antworten

Answer 1

Negation: Wenn die gesamte negierte Aussage gilt, dann ist die Behauptung falsch. also wenn

(1)    ¬( (a∧ ¬b)->¬(dvf))   , d.h.  (a∧ ¬b) UND NICHT(¬(dvf)) , also 

                                                     wenn  (a∧ ¬b) UND (dvf)   gilt

  , dann ist die Ausgangsbehauptung falsch

Grund: Alles in Anlehnung an oben: A->B mit negierter Aussage

                  ¬(A->b)= A ∧¬B (in Worten: wenn A und B nicht, siehe oben)

A ist in (1) alles vor dem ->  und B alles nach dem ->

                                                    

Comments

Ah, also muss ich alles negieren, gut zu wissen. Irgendwie steht dies in Büchern immer komisch beschrieben:) Dort steht meistens nimm etwas wahres an und führe es auf absurdum

Die Frage ist nur, wo ist dann der unterschied zur Kontraposition

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Die Kontraposition verneint zunächst die rechte Seite von "->" und schließt dann auf die verneinte linke Seite von "->"

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Also zusammengefasst.

Bei einem indirekten Beweis Negiere ich alles und bei einer Kontraposition auch, nur drehe ich die Seiten um?

Tut mir leid für die Nachfrage, will nichts falsch machen

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Das stimmt so nicht.
Noch einmal:
Beh. a->b soll gelten
1. Beweis durch Negierung:

Es gilt die Regel:
¬(a->b)Ξ  a ∧ ¬b.

Wenn also  a ∧ ¬b gilt,  dann muss die Behauptung a->b falsch sein.

2.Beweis durch Komposition:

Es gilt die Regel: a ->b  ≡ ¬b -> ¬a

Gilt also ¬b -> ¬a, dann ist auch die Behauptung a->b richtig.

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Ok irgendwie verstehe ich es nicht.

Beh. a->b soll gelten
1. Beweis durch Negierung:

Es gilt die Regel:
¬(a->b)Ξ  a ∧ ¬b.

Wenn also  a ∧ ¬b gilt,  dann muss die Behauptung a->b falsch sein.

Du Negierst hier doch aber alles :

¬( (a∧ ¬b)->¬(dvf))

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Kontraposition heißt es natürlich

Der indirekte Beweis ist die Negierung unter  1.

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Vlt sollte mal klären, was hier (a∧ ¬b)->¬(dvf)  A und B ist?

A ist doch (a∧ ¬b) und B (¬(dvf)), also müsste man doch hier jetzt B negieren.

Dieses Thema verwirrt mich gerade sehr.

Bei der Kontraposition ist sofort klar was gemacht werden muss.

Nämlich (a∧ ¬b)->¬(dvf)  => ¬(¬(dvf))->¬(a∧ ¬b)

Aber bei dem Widerspruchsbeweis kann ich dir nicht folgen.

Versuchst du mir vlt zu sagen, dass man erst einmal alles Negieren muss, also

¬((a∧ ¬b)->¬(dvf)) <=> (a∧ ¬b) UND (dvf) 

Und wenn dann dies hier gilt (a∧ ¬b) UND (dvf) , dann ist (a∧ ¬b)->¬(dvf) falsch?

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Ok meins scheint unlogisch zu sein, ach mist

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"Aber bei dem Widerspruchsbeweis kann ich dir nicht folgen.
Versuchst du mir vlt zu sagen, dass man erst einmal alles Negieren muss, also

¬((a∧ ¬b)->¬(dvf)) <=> (a∧ ¬b) UND (dvf)

Und wenn dann dies hier gilt (a∧ ¬b) UND (dvf) , dann ist (a∧ ¬b)->¬(dvf) falsch?"

Antwort: Jawohl !!!!! So isses.