Die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks ABC sind gesucht.

Question

Gegeben sind:

β = 41.0°          γ = 67.2°       w_{β = 11.4 cm}

Answer 1

α = 180-41-67.2 = 71,8°

1. w_{β}*(a+c) = 2*a*c*cos(β/2)

2. sin(α)*c = a*sin(γ)

Löse das Gleichungssystem, um \(a\) und \(c\) zu erhalten.

Comments

wβ*(a+c) = 2*a*c*cos(β/2)

kannst Du das bitte noch erläutern

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Wie berechne man denn \(w_{\beta}\) allgemein? (ich bin davon ausgegenangen, dass das die Länge der Winkelhalbierenden repräsentieren soll.

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Das ist auch nur eine mögliche Lösungen. Es gibt keine eindeutige.

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ich bin davon ausgegangen, dass \(w_\beta\) die Länge der Winkelhalbierenden repräsentieren soll.

ja sicher - aber wie kommst Du auf diese Formel? $$w_β(a+c) = 2ac\cos\left(\frac β2\right)$$Die steht zwar auch im Wiki, aber ohne jeden Hinweis oder Namen des zugehörigen Satzes.

Es gibt keine eindeutige (Lösung).

... dann hilf mir mal auf die Sprünge. IMHO gibt es nur eine Lösung; nämlich die aus dem LGS, welchses Du in der Antwort angegeben hast.

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Bist du nicht normalerweise derjenige, der das weiß? :D

Wie die Formel hergeleitet wird, weiß ich nicht.

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Bist du nicht normalerweise derjenige, der das weiß?

Normal schon, aber in diesem konkretem Fall eben nicht. Und deshalb versuche ich gerade diese Wissenslücke zu beheben. Hat diese Formel einen Namen? Ich dazu nämlich nichts gefunden, außer dass sie im Bronstein stehen soll.

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Sehr seltsam, das es nirgends eine Herleitung zur Formel gibt!

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Es hat mich eine Viertelstunde und zwei Blatt Papier gekostet, aber ich habe es herausgefunden. Ich mache mal eine Knobelfrage daraus.

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Na dann mal los!

Answer 2

Was ist denn das für ein Formel-Overkill....

Die gegebene Winkelhalbierende erzeugt zwei Teildreiecke und zerlegt den Winkel β in zwei Teilwinkel von je 20,5°.

Damit ist das "obere" Teildreieck (in welchem auch γ einer der Innenwinkel ist) mit 2 Winkeln und einer Seite (w_β) eindeutig bestimmt, und es lässt sich darin z.B. mit dem Sinussatz eine Dreiecksseite des Gesamtdreiecks und das Teilstück der durch  w_β geteilten Seite berechnen.

Das untere Teildreieck ist durch α = (180-41-67.2)° = 71,8° , durch w_β  und durch  β/2=20,5° ebenfalls eindeutig bestimmt, also sind auch die übrigen Längen berechenbar.