Wie geht diese Induktion über Modulo?

Question

$$Aufgabe:\\ Zu\quad zeigen\quad sei\quad per\quad Induktion:\\ Für\quad alle\quad n\epsilon { N }_{ *4 }^{ + }\quad n\quad mod\quad 4\quad =\quad 0.\\ Nutzen\quad Sie\quad dabei:\\ Für\quad alle\quad n,m,z\epsilon N\quad (n+m)\quad mod\quad z\quad =\quad ((n\quad mod\quad z)\quad +\quad (m\quad mod\quad z))\quad mod\quad z\quad \\ \\ Problem:\\ Ich\quad bekomme\quad den\quad Induktionsschritt\quad nicht\quad hin\quad und\quad benötige\quad hilfe.\quad \\ IV:\quad n\quad mod\quad 4\quad =\quad 0\\ IS\quad (n+4):\quad zz\quad (n+4)\quad mod\quad 4\quad =\quad 0\\ Also\\ (n+4)\quad mod\quad 4\quad <=>\quad ...\\ \\ \\ <=>\quad ((4\quad *\quad (...))\quad mod\quad 4\quad =\quad 0\\ \\ Kann\quad Jemand\quad bitte\quad helfen?$$

Answer 1

$$ (n+4) \text{mod } 4 $$ist dem Tipp folgend$$ = n \text{ mod } 4 + 4 \text{ mod } 4 $$Der Wert des ersten Summanden ist nach IV bereits bekannt und der zweite kann ausgerechnet werden.

Comments

Bist du dir sicher das dies so funktioniert?

Ich dachte man müsste (n+4) so auseinanderziehen, damit man dann den Tipp anwenden kann?

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Der Tipp besteht in der Umformung

(n + m ) mod z = (n mod z) + (m mod z)

Die Operation "mod z" wird auf die Summe verteilt, sie ist also distributiv.

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Aber es heißt doch

((n+m) mod z=((n mod z) + (m mod z)) mod z

Du vergisst das letzte mod z

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Richtig, das habe ich übersehen. ich ergänze also: $$ = \left(n \text{ mod } 4 + 4 \text{ mod } 4\right) \text{ mod } 4 \\ = \left( 0 + 0 \right) \text{ mod } 4 \\ = 0.$$