Für welche Variablen a,b ist (x*y)= a*x + b*y eine Gruppe

Question

Ich soll herausfinden für welche Variablen a,b ∈ℝ (ℝ,°) eine Gruppe ist, wobei x°y:= ax+by ist. Meiner Meinung nach gilt das für alle a,b aus ℝ. Aber wie zeige ich das? Muss ich die Gruppenaxiome für alle Fälle nachweisen? Aber da würde dann ja immer wieder das gleiche stehen?!

Answer 1

(x°y)°z

= a(x°y) + bz

= a(ax + by) + bz

= a² x + aby + bz

x°(y°z)

= ax + b(y°z)

= ax + b(ay + bz)

= ax + aby + b²z

Wegen Assoziativgesetz muss a² x + aby + bz = ax + aby + b²z sein, und somit

        a²x + bz = ax + b²z

x = z = 1 einsetzen ergibt a² + b = a + b²

x = -1, z = 1 einsetzen ergibt -a² + b = -a + b²

Addition der beiden Gleichungen ergibt 2b²  = 2b, also b² = b und somit b ∈ {0,1}. Analog dazu muss auch a ∈ {0, 1} sein.

Ist a = b = 0, dann gibt es kein neutrales Element, weil 1°y = 0 ≠ 1.

Ist a = 1, b = 0, dann gibt es nur zu dem neutralen Element ein rechtsinverses Element, weil x°y = x für alle y ist. Analog dazu gibt es nur zu dem neutralen Element ein linksinverses Element, wenn a = 0, b = 1 ist.

Also muss a = b = 1 sein.

Comments

Wow, vielen Dank für deine Hilfe! Habe das die ganze Zeit komplett falsch betrachtet!

Aber wieso kann man in die Gleichung bei dem Assoziativgesetz einfach einmal x=z=1 und einmal x=-1, z=1 setzen? Einfach nur als Beispiele, weil x,z ja alles sein kann?

Und muss ich jetzt noch einen Nachweis für das Inverse machen?

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Und hast du beim Neutralen Element angenommen, dass es 1 ist? Warum kann es nicht 0 sein bzw. Woher weiß ich das?

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Aber wieso kann man in die Gleichung bei dem Assoziativgesetz einfach einmal x=z=1 und einmal x=-1, z=1 setzen?

Das Assoziativgesetz gilt für alle x, y, z. Insbesondere gilt es auch dann, wenn x = z = 1 ist.

Und muss ich jetzt noch einen Nachweis für das Inverse machen?

Die Frage ist, für welche Variablen a,b ∈ℝ (ℝ,°) eine Gruppe ist.

Ich habe gezeigt: wenn (ℝ,°) eine Gruppe ist, dann muss a = b = 1 sein.

Gezeigt werden müsste also noch: wenn a = b = 1 ist, dann ist (ℝ,°) eine Gruppe. Das ist aber trivial, weil dann (ℝ,°) = (ℝ,+) ist.

Und hast du beim Neutralen Element angenommen, dass es 1 ist?

Nein. Ich habe gezeigt, dass kein y neutral ist.

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Nein. Ich habe gezeigt, dass kein y neutral ist.

Muss ich das dann auch noch für x zeigen, oder kann ich einfach schreiben analog?

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Muss ich das dann auch noch für x zeigen, oder kann ich einfach schreiben analog?

Es gilt das gleiche wie bei der Frage "Und muss ich jetzt noch einen Nachweis für das Inverse machen?"

Beachte aber bitte, dass ich die Fälle a=1, b=0 und a=0, b=1 überarbeitet habe. Ursprünglich bin ich davon ausgegangen, dass 0 neutral ist.

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Okay, vielen vielen Dank für deine Hilfe!!