Abelsche Gruppe beweisen. Vektoren des R^3 mit der Vektoraddition als Verknüpfung

Question

Sei \( G = \{( \begin{pmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}  \end{pmatrix} \in \mathbb{R} \} \) (der gewöhnliche R³ für $$\vec{x}, \vec{y} \( \in G \text{ mit } \vec{x} = \begin{pmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}  \end{pmatrix} \) und \( \vec{y} =   \begin{pmatrix} y_{1}\\y_{2}\\y_{3}  \end{pmatrix} \)

die Addition definiert als \( \vec{x} ⊕ \vec{y}  = ( \begin{pmatrix} x_{1} + y_{1}\\x_{2} + y_{2} \\x_{3} + y_{3}  \end{pmatrix} \in \mathbb{R} \} \)

Zeigen Sie, dass das Paar (G,⊕) eine abelsche Gruppe ist.

Hinweis: Sie dürfen als bereits bewiesen voraussetzen, dass (R,+) eine abelsche Gruppe ist.

b)  Zeigen Sie, dass das Paar ({1,2,3,4,5,6}, [an dieser Stelle ein Kringel mit einem Mal-Zeichen] 7) eine abelsche Gruppe ist.

c)  Für welche n∈N ist ({1,2,...,n−1}, [an dieser Selle ein Kringel mit einem Mal-Zeichen) eine Gruppe? Beweisen Sie Ihre Antwort.

Hinweis: Sie dürfen als bereits bewiesen voraussetzen, dass die Verknüpfungen assoziativ sind.

Nicht korrekte Ergebnisse werden nicht bewertet, dabei gilt als Maßstab NUR das Endergebnis am Ende der Lösung.

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Ok, man soll zeigen, dass das Paar eine abelsche Gruppe ist. Dafür gibt es die berühmten Axiome

H1: Abgeschlossenheit

H 2: Assozivität

G2: Es gibt ein neutrales Element

G3: Es gibt ein invereses Eleement

Wie zeig ich das jetzt? Es wird ja einmal abgebildet von R x R -> R und einmal in R³ x R³ -> R³...Warum ist die Gruppe dann abgeschlossen? Es wird dochi in ganz andere Bereiche abgeildet. Gleiches gilt für Assozivität, Neutralität, usw.

Answer 1

H1: Abgeschlossenheit: D.h. , dass durch die Verknüpfung:

$$\vec{x} ⊕ \vec{y}  : =\begin{pmatrix} x_{1} + y_{1}\\x_{2} + y_{2} \\x_{3} + y_{3}  \end{pmatrix}$$

je zwei Elemneten aus R^3 wieder eines aus R^3 zugeordnet wird. Dem ist so.

H 2: Assoziativität: Hier muss du überlegen, ob immer gilt:

 $$(\vec{x} ⊕ \vec{y}) ⊕ \vec{z} =\vec{x} ⊕ (\vec{y} ⊕ \vec{z})$$

Wende einfach die Definition mehrfach an

$$(\vec{x} ⊕ \vec{y}) ⊕ \vec{z}$$

$$=\begin{pmatrix} x_{1} + y_{1}\\x_{2} + y_{2} \\x_{3} + y_{3}\end{pmatrix}⊕\vec{z} $$

$$=\begin{pmatrix} (x_{1} + y_{1})+z_{1}\\(x_{2} + y_{2})+z_{2} \\(x_{3} + y_{3})+z_{3}  \end{pmatrix}$$

Und weil  (R,+) eine Gruppe ist, gilt die Assoziativität für die einzelnen Komponenten, also

$$=\begin{pmatrix} x_{1} + (y_{1}+z_{1})\\x_{2} + (y_{2}+z_{2}) \\x_{3} +( y_{3}+z_{3})  \end{pmatrix}$$

Und jetzt die Definition schrittweise rückwärts anwenden:

$$=\vec{x} ⊕ \begin{pmatrix} y_{1} + z_{1}\\y_{2} + z_{2} \\y_{3} + z_{3}  \end{pmatrix}$$ 

$$=\vec{x} ⊕ (\vec{y} ⊕ \vec{z})$$

G2: Es gibt ein neutrales Element: Zeige, das ist $$ \begin{pmatrix} 0\\0\\0  \end{pmatrix}$$ 

G3: Es gibt zu jedem ein invereses Element: Zeige invers zu

$$\begin{pmatrix}  x_{1}\\x_{2} \\x_{3} \end{pmatrix}ist\begin{pmatrix}  -x_{1} \\-x_{2}  \\-x_{3} \end{pmatrix} $$ 

Comments

ok, vielen dank. kann ich jetzt einfach z als irgendein element defiinieren? weil das ist ja ein bisschen 'geschummelt', wenn ich einfach sage, es gibt ein Element z, für die die ganzen Behauptungen (Abgschlossenheit, etc.) zutreffen. Der Arbeitsauftrag ist doch eigentlich, eins zu suchen. Sonst ist ja jeder Beweis be solchen Annahmen eigentlich hinfällig.

Und bei der b) muss ich dann jedes Element einzelnen mit 7 multiplikativ verknüpfen und beweisen oder reicht alles in einem?

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wenn ich einfach sage, es gibt ein Element z, für die die ganzen Behauptungen (Abgschlossenheit, etc.) zutreffen.

Du musst bei solchen Aussagen zwischen All- und Existenz-Aussagen unterscheiden.

Bei den Gruppenaxiomen ist z.B. die Aussage:

Es gibt ein neutrales El. eine Existenzaussage. Da musst du in der

Tat eins angeben, wie oben geschehen.

Bei Allsáussagen, wie z.B. Abgeschlossenheit heißt es ja:

Für alle x,y aus G gilt  x+y ist auch in G.

Da beginnen die Beweise eigentlich immer mit so einer

Aussage wie:  Seien x,y aus G. Die hat man dann halt und

muss aus der Tatsache, dass sie aus G sind versuchen das

Ergebnis zu begründen.

b) Hier geht es wohl um die Multiplikation Modulo 7.

Das heißt:  Du multiplizierst die Zahlen ganz normal und nimmst

dann den Rest Modulo 7, also z.B.   3*4=5

weil 12 bei der Division durch 7 den Rest 5 hat.

Und bei c) ergibt sich: Das klappt, wenn n eine Primzahl ist.

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Wie kommst du darauf, das 'n' eine Primzahl sein muss?

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Wenn  ({1,2,...,n−1}, *) für ein n>1 betrachtet wird, das keine

Primzahl ist, dann gibt es zwei Elemente a,b aus {1,2,...,n−1} deren

Produkt n ist, für die ist dann also a*b=0 , also wäre

({1,2,...,n−1}, *) nicht abgeschlossen.

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Stimmt, aber damit es ist doch nur gezeigt, das die Abgeschlossenheit gilt(wenn n eine Primzahl ist). Um jedoch eine Gruppe zu seien, muss auch ein neutrales und ein inverses Element existieren. Ein neutrales Element wäre die 1. Aber es gibt doch kein inverses Element ?

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Inverses Element heißt doch, wenn wir eine Verknüpfungstabelle anlegen, dann in irgendeiner Spalte eine 1 stehen muss. Ich habe es jetzt mal für die ersten Zahlen ausprobiert, und bisher war es immer der Fall?