Basiswechsel bei linearen Abbildungen

Question

Aufgabe:

 Gegeben $$f:\begin{matrix} x\_ 1 \\ x\_ 2 \\ x\_ 3 \\ x\_ 4 \end{matrix} \rightarrow \begin{matrix} x\_ 1\quad +\quad 2*x\_ 2+x\_ 3 \\ x\_ 1-x\_ 4 \end{matrix}$$

$$g:\begin{matrix} x\_ 1 \\ x\_ 2 \end{matrix}=\begin{matrix} x\_ 1+x\_ 2 \\ x\_ 1-x\_ 2 \\ 3x\_ 1 \end{matrix}$$
Sei [a] die Basis von R^4 {(1,0,1,0),(1,4,2,2),(1,1,1,1),(2,0,3,0)}
Sei e_n die Standardbasis von Rⁿ.

Bestimme f zur Basis [a]→(e₂)
Bestimme g zur Basis [b]→(e₂)

Es geht mir um Aufgabe c)
i) Setze ich nun jeden vektor von [a] in f(x) ein, dann erhalte ich 4 vektoren der Form (2,1),(15,-1),(4,0),(5,2). Ist das meine Lösung zu i)? Es erscheint mir falsch, vier Vektoren in ℝ² zu erhalten. Da die Basis nur 2 enthalten sollte?
Bei ii). Mache ich das gleiche wie bei bei i), schreibe es in Matrixdarstellung und bestimme das Inverse?

Comments

Die Aufgabe ist nicht aus einem Buch

Möchtest du damit Bedenken wegen Urheberrecht aus dem Weg räumen? Das ist dir nicht gelungen. Urheberrecht besteht unabhängig davon, wo das Werk veröffentlicht wird. Es besteht sogar dann, wenn das Werk überhaupt nicht veröffentlicht wurde.

Answer 1

Bestimme f zur Basis [a]→(e2) . Das verstehe ich so:

Wenn man einen Vektor  v aus R^4 durch [a] dargestellt hat,

dann meint das wohl: Wie sieht Bild von v in R^2 aus ?

Dazu hattest du schon die richtige Idee:

erhalte ich 4 vektoren der Form (2,1),(15,-1),(4,0),(5,2).

Ist also v = v1*(1,0,1,0)+v2*(1,4,2,2)+v3*(1,1,1,1)*v4*(2,0,3,0)

Dann ist f(v) = v1*(2,1)+v2*(15,-1)+v3*(4,0)+v4*(5,2).

 = (2v1+15v2+4v3+5v4 ; v1-v2+2v4 )

Das dürfte die gesuchte Darstellung sein.

Das schreibt man oft auch als Matrix, dann sieht es so aus

2     15      4      5
1     -1       0      2

Comments

Danke für die Antwort. Du hast meine Frage voll und ganz beantwortet und bekommst auch die beste Antwort.
Ich habe den post etwas hastig editiert und die hälfte der frage fehlt.
Falls b={(1,3,4),(2,0,1),(1,1,2)} eine Basis von R³ ist. Wie sollte ich dann für g im Bezug zur Basis [e₂] → [b] vorgehen? Dort mache ich zuerst das gleiche wie bei "f" und bestimme dann die Inverse? Korrekt?
Mich irritiert vorallem, dass ich bei "g" gar kein x₃ habe.