Partialbruchzerlegung (2k+1)/(k^4+2k^3+k^2)

Question

. Aufgabe:

Berechnen Sie die Teleskopsumme folgender Fkt.:

Summe aus k=1 bis n für die Fkt. (2k+1)/(k^4+2k^3+k^2).

Als Tipp wurde mir gegeben, dass ich die Partialbruchzerlegung verwenden soll.

Mein Ansatz:

Der Grad des Nenners ist bereits grösser als der Zählergrad, wir müssen also keine Polynomdivision zusätzlich durchführen.
Ich bestimme zuerst die Nullstellen des Nenners:

k^2(k^2+2k+1)
k1,2=0

k3,4: 0=k^2+2k+1

Ansatz pq Formel:

-1 +/- √(-2/2)^2 -1

k3,4= -1

Wie komme ich nun auf die Teleskopsumme?

Comments

k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2

(Binomische Formeln)

---

Ist nur ein anderer Ansatz an die Nullstellen zu kommen?

Answer 1

Deine PBZ ist noch nicht fertig :)

Siehst du welche "alternate form" zu einer Teleskopsumme führt?

(2k+1)/(k4+2k3+k2)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2k%2B1)%2F(k%5E4%2B2k%5E3%2Bk%5E2)

Forme deinen Bruch dorthin um.

Comments

ich bin soweit, dass ich folgendes aufgestellt habe:

(2k+1)/(k^4+2k^3+k^2)= A/(k-0) + B/(k-0)^2+ C/(k+1) + D/(k+1)^2

bzw.

(2k+1)/(k^4+2k^3+k^2)= A/(k) + B/(k)^2+ C/(k+1) + D/(k+1)^2

Jetzt multipliziere ich auf beiden Seiten mit k^4+2k^3+k^2 ?

2k+1 = A*k*(k+1)*(k+1)^2 + B*k*k^2*(k+1)*(k+1)^2 + C*k*k^2*(k+1)^2 + D*k*k^2*(k+1)

Wie geht es nun weiter?

---

Wie sieht das denn genau mit dem Koeffizientenvergleich aus? Ich ordne nach k^1 und nur nach Zahlenwerten?

---

Ich wäre froh, wenn Du mir frühzeitig eine Antwort geben könntest. :)

bzw. mir ein anderer User im Forum hier weiterhelfen könnte.

---

oder ist es so richtig?:

(2k+1)/k^2*(k+1)^2= (Ak^2(k+1)^2/k) + (B(k+1)^2k^2)/k^2+ (Ck^2(k+1)^2/(k+1)+(Dk^2(k+1)^2)

2k+1= A(k+1)^2+B(l+1)^2+Ck^2(k+1)+Dk^2

2k+1= A(k^2+2k+1)*B(x^2+2k+1)+Ck^2(k+1)+Dk^2

folglich

2=2A+2B

1=A+B

A und B = 1/2 ?

---

Bräuchte deine Hilfe, damit ich weiss, ob es korrekt ist. :D

---

Nochmals: Das hier solltest du erhalten:

D.h. A = C = 0 und B = 1 und D = -1

Mach dir das Lebe nicht so schwer und erinnere dich an Bruchaddition bzw. Bruchsubtraktion.

(2k+1)/(k^{4}+2k^{3}+k^{2})

= (2k+1)/(k^2(1+2k+k^2))         | quadratisch ergänzen

= (-k^2 + k^2 + 2k + 1)/(k^2(k^2 + 2k + 1))     Bruchaddition

= (-k^2 )/(k^2(k^2 + 2k + 1)) + (k^2 + 2k + 1)/(k^2(k^2 + 2k + 1))      | kürzen

= (-1)/(k^2 + 2k + 1) + 1/k^2

= 1/k^2 - 1/(k+1)^2

---

erhalte

2=A+2B

1=B

A=0

wäre dann der partielle Bruch "die Teleskopsumme"? oder muss ich da noch etwas zusätzlich machen?

---

Schreibe die Partialsumme bis k=n einmal aus, wie ich das hier bei einer ähnlichen Frage einmal gemacht habe:

https://www.mathelounge.de/191224/wert-einer-unendlichen-reihe-bestimmen-2-k-k-1

---

Partialsumme bis k=n

1/k^2 - 1/(k+1)^2

sn=1/1-1/(1+1)^2+1/4-1/(2+1)^2+1/9-1/(3+1)^2 + 1/16-1/(4+1)^2.....+1/n^2-1/(n+1)^2

ist verstehe nicht, was du aus dem Post in dem gegebenen link mit summanden streichen meinst. bin erstmal soweit gekommen

---

wäre sn dann nicht einfach 1/n^2-1/(n+1)^2? In meiner Summe kann man gar nicht an Summanden streichen?

---

Du rechnest zu viel:

sn=1/1-1/(1+1)^{2}+1/4-1/(2+1)^{2}+1/9-1/(3+1)^{2} + 1/16-1/(4+1)^{2}.....+1/n^{2}-1/(n+1)^{2}

sn=1/1-1/(2)^{2}+1/2^2-1/(3)^{2}+1/3^2-1/(4)^{2} + 1/4^2-1/(5)^{2}.....+1/n^{2}-1/(n+1)^{2}

sn=1/1-1/(2)^{2}+1/2^2-1/(3)^{2}+1/3^2-1/(4)^{2} + 1/4^2-1/(5)^{2}.....+1/n^{2}-1/(n+1)^{2}

sn=1/1-1/(n+1)^{2}

sn=1-1/(n+1)^{2}

Nun Grenzwert berechnen. --> 1 - 0 = 1

---

Danke sehr, jetzt habe ich es verstanden. Dachte nur man könnte ein Binom nicht (3+1)^2 nicht einfach so zusammenfassen zu 4^2, sondern nur über die 2. Binomische Formel.  Aber dann realisiert, dass es auch einfacher geht.

---

Du meinst bei der Grenzwertberechnung wohl -0 statt +0 oder?

---

Du meinst bei der Grenzwertberechnung wohl -0 statt +0 oder?

Ja. Ich habe das mal korrigiert. Aber das gibt dasselbe.

Answer 2

Nur zur Partialbruchzerlegung: Der Nenner k²(k+1)² führt zur Partialbruchzerlegung: A/k²+B/k+C/(k+1)²+D/(k+1).

Jetzt alles auf den Hauptnenner, Zusammenfassen und Zählervergleich.

Comments

Ist die höchste Ordnung nicht 4 im Nenner?

---

ich bin soweit, dass ich folgendes aufgestellt habe:

(2k+1)/(k4+2k3+k2)= A/(k-0) + B/(k-0)2+ C/(k+1) + D/(k+1)2

bzw.

(2k+1)/(k4+2k3+k2)= A/(k) + B/(k)2+ C/(k+1) + D/(k+1)2

Jetzt multipliziere ich auf beiden Seiten mit k4+2k3+k2 ?

2k+1 = A*k*(k+1)*(k+1)2 + B*k*k2*(k+1)*(k+1)2 + C*k*k2*(k+1)2 + D*k*k2*(k+1)

Wie geht es nun weiter?

---

beim Koeffizientenvergleich

Answer 3

Nach quadratischer Ergänzung des Zählers und Faktorisierung des Nenners (ggf. mithilfe der binomischen Formeln) kann der Bruch zerlegt und gekürzt werden. Dies sind die beiden Schritte:$$\dfrac{2k+1}{k^4+2k^3+k^2}=\dfrac{\left(k+1\right)^2-k^2}{k^2\cdot\left(k+1\right)^2}=\dfrac{1}{k^2}-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}$$