Nullstellen schätzen bei Polynomen

Question

ich habe eine generelle Frage zum Schätzen der 1. Nullstelle bei Polynomen, z.B

f(x)= 2x³+x²-5x+7.

Gibt es einen Rechenweg,der diese Schätzung zeitlich einzugrenzt oder muß man tatsächlich jede Zahl  rechnerisch durchspielen. Bei meiner Tochter ist gerade die Kurvendiskussion  Unterrichtsgegenstand und der Lehrer hat Gott sei Dank für die Probe das Problem schon eingegrenzt..also es werden nur Aufgaben kommen, bei denen die erste Nullstelle zwischen -3 und +3 liegt.

Ich habe mich allerdings - da mich das ganze interessiert - gefragt wie man vorgeht,

wenn man die erste Nullstelle bei einem numerisch wesentlich größeren Wert hätte. Kann man das vorher schon an der Formel erkennen oder gibt es dafür einen Rechenweg?

Vielen Dank für Eure Mühen schon im voraus!!

Klaus

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bei ganzrationalen Polynomen betrachtet man immer das Absolutglied, also die letzte Zahl. Bei deinem Polynom kannst du es eventuell durch Bisektion eingrenzen oder, wenn du nachweist, dass das Polynom alle möglichen Nullstellen besitzt; mit dieser Formel das Intervall eingrenzen:$$x _ { 1,2 } = - \frac { a _ { n - 1 } } { n } \pm \frac { n - 1 } { n } \sqrt { a _ { n - 1 } ^ { 2 } - \frac { 2 n } { n - 1 } a _ { n - 2 } }$$

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Vielen Dank für die schnelle Antwort

Answer 1

Die Funktion f(x)= 2x³+x²-5x+7 hat zwar eine reelle Nullstelle x_n, die man auch mit -2<x_n<-1 eingrenzen kann, aber ohne einen gewissen Rechenaufwand ist nicht einmal diese Eingrenzung möglich. Wenn man noch genauer werden möchte, steigert sich der Rechenaufwand noch einmal.

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ebenso...Vielen Dank für die schnelle Antwort!!