Länge einer Mittelparallele

Question

Aufgabe: Gegeben sind die gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke ABC und ADE. C und D seien die Scheitel der rechten Winkel. Die Fußpunkte der Lote von B bzw. E auf die Gerade CD seien F bzw. G. Bestimme die Länge der Mittelparallele im Trapez FGEB in Bezug auf die Länge von CD.

Comments

Bestimme die Länge der Mittelparallele im Trapez FGEB in Bezug auf die Länge von CD.

Mmmh!? - Mittelparallele \(m\), dann  \(m = \frac12 |CD|\), man muss es bloß noch beweisen ;-)

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@Werner. Die Lösung kennst du jetzt. Vielleicht hilft das bei der Antwort?

Answer 1

Hallo Roland,

Ich habe noch zwei weitere Punkte eingezeichnet. \(A'\) ist der Lotpunkt von \(A\) auf \(CD\) und \(M'\) der Lotpunkt von \(M\) auf \(CD\). Die bräunlichen Dreiecke \(\triangle ACA'\) und \(\triangle CBF\) sind kongruent, da sie in allen Winkeln und einer Seite (\(|AC| = |CB|\)) übereinstimmen. Gleiches gilt für die beiden kongruenten blauen Dreiecke \(\triangle EDG\) und \(\triangle DAA'\). Da \(M\) der Mittelpunkt von \(BE\) ist, muss gelten: $$|MM'| = \frac12(|BF| + |GE|)$$ Nun ist aber wegen der kongruenten Dreiecke $$|BF| = |CA'|, \quad |GE| = |A'D|$$ Einsetzen in die Gleichung für die Mittelparalelle $$|MM'| = \frac12 (|CA'| + |A'D|) = \frac12 |CD|$$ BTW.: da $$|FC| = |A'A| = |DG|$$ ist \(M'\) auch der Mittelpunkt von \(CD\). Gruß Werner