Ich hatte vor einigen Wochen eine Aufgabe wo ich den Grenzwert bzw. Konvergenz der Folge:
$$a_n:=\sqrt[n]{n}$$
bestimmen musste. Ich tat dies via die Grentwert Definition mit Epsilon und zeigte, dass die Folge gegen 1 konvergiert. Vor kurzem hatten wir in der Vorlesung den Sandwichsatz besprochen und ich fragte mich ob ich auch die Konvergenz dieser Folge via Sandwichsatz zeigen kann.
Der Ansatz würde dann so aussehen.
$$a_{n\in \mathbb{N^*}}:=\sqrt[n]{n} \\\text{ Behauptung: } \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1 \\ \forall n\in \mathbb{N^*}: \sqrt[1]{1} \leq \sqrt[n]{n} \leq \sqrt[n+1]{n+1} \\\Longleftrightarrow 1 \leq \sqrt[n]{n}\leq \sqrt[n+1]{n+1} \\[10pt]\text{ Zu zeigen: } \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n+1]{n+1}=1$$
Wie würde man, dass zeigen?
Potenzrausklammen und rauskrüzen oder gibt es einen anderen weg OHNE die Grenzwert definition mit Epsilon?
Könnte jemand diesen Beweis vervollständigen und erklären wie er es macht?
