Symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen

Question

Eine Matrix A heißt symmetrisch wenn A^(T) = A  und schiefymmetrisch wenn A^(T) = A.

Seien V_n und W_n die Mengen der symmetrischen bzw. schiefsymmetrischen nxn-Matrizen.

(a) Zeigen Sie, dass V_n und W_n Untervektorräume von R^(nxn) sind.

(b) Zeigen Sie, dass sich jede Matrix A € R^(nxn) eindeutig als Summe A = S + T mit Matrizen S€ V_n und T € W_n schreiben lässt.

(c) Bestimmen Sie je eine Basis von V_2 und W_2

Answer 1

Und wieder

ich fange mal an, aber dann muss ich schlafen gehen :-) 

Eine Matrix A heißt symmetrisch wenn A^T = A  und schiefsymmetrisch wenn A^T = - A

Bei A^T werden die Zeilen  von A  zu Spalten.

Beispiel:

\(\begin{pmatrix} 1&4&-5\\ 4&2&6\\ -5&6&3\end{pmatrix}\)  ist symmetrisch (zur Hauptdiagonalen HD)

\(\begin{pmatrix} 0&4&-5\\ -4&0&6\\ 5&-6&0\end{pmatrix}\)  ist schiefsymmetrisch

                (Bei einer schiefsymmetrischen Matrix stehen in der HD immer Nullen)

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Eine Teilmenge U eines  ℝ-Vektorraums X  ist genau dann ein (Unter-)Vektorraum, wenn drei Bedingungen gelten:
1)  U ≠ { }
2) Für alle x,y ∈ U gilt  x+y ∈ U 
3) Für alle u ∈ U  und für alle Zahlen r ∈ ℝ  gilt  r • u  ∈ U 

Man sieht leicht ein:

1)  die Matrix mit lauter Nullen ist sowohl symmetrisch als auch schiefsymmetrisch

2)  Addiert man zwei (schief-)symmetrische Matrizen , dann ist auch das                                    Ergebnis (schief-)symmetrisch.

3)  Multipliziert man eine (schief-)symmetrische Matrix mit einer Zahl r, dann ist auch das                Ergebnis (schief-)symmetrisch.

...

Gruß Wolfgang

Comments

ah du hast ja schon geschrieben gehabt^^

ich lese durch am besten^^

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und wie geht nochmal die b und c?

und die a habe ich leider von deinem antwort aus leider nicht ganz verstanden.

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b)

betrachten wir das Beispiel  ℝ^2x2

           A       =                S               +             T 

\( \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} a&b-x\\ c+x&d\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&x\\ -x&0\end{pmatrix}  \)  

wegen der Symmetrie von S muss  b - x = c + x gelten

das ergibt   \(x = \frac{b-c}{2} \)    und damit

 \(S = \begin{pmatrix} a&\frac{b+c}{2}\\ \frac{b+c}{2}&d\end{pmatrix} \)       \(T = \begin{pmatrix} 0&\frac{b-c}{2}\\ \frac{c-b}{b}&0\end{pmatrix} \)

Bei einer beliebigen Matrix A aus ℝ^nxn  kann man bei S die Elemente der Hauptdiagonalen von A belassen und je zwei beliebige symmetrisch zur HD von A liegende Elemente b bzw. c nennen und dann die entsprechenden Elemente von S und T wie oben berechnen.

c)  

Jede Matrix aus  W₂  (schiefsymmetrisch) hat die Form

\( \begin{pmatrix} 0&c\\ -c&0\end{pmatrix}  =  c · \color{blue}{ \begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0\end{pmatrix}} \)

Das ist also der Basisvektor von W₂

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Jede Matrix aus  V₂  (symmetrisch) hat die Form

\( \begin{pmatrix} a&c\\c&b\end{pmatrix}  =  a · \color{blue}{ \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0\end{pmatrix}} + b· \color{blue}{ \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1\end{pmatrix}}+ c· \color{blue}{ \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\end{pmatrix}} \) 

Das sind also die (linear unabhängigen!) Basisvektoren von V₂

zu a)
Ich habe die schiefsymmetrische Beispielmatrix korrigiert, weil eine solche in der Hauptdiagonalen nur Nullen haben darf.

Mit "habe (das alles) nicht verstanden" kann ich aber wenig anfangen. Da musst du schon im Einzelnen genauer nachfragen.