Laplace-Experiment: Zufallsvariable M bezeichne die größte gewürfelte Augenzahl. Verteilungsfunktion?

Question

Aufgabe:

Ein Würfel mit n Seiten und der Beschriftung {1,...,n} wird k-mal geworfen, es liege ein Laplace-Experiment auf Omega={1,..,n}^k vor. Die Zufallsvariable M bezeichne die größte gewürfelte Augenzahl.

Bestimme die Verteilungsfunktion F^{M}.

Comments

F(m) = |{1, ..., m}^k| / |{1, ..., n}^k|.

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Vergleiche https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.110/lehre/ss10/AStoch1/Skript1.pdf

Skript1.pdf (0,3 MB)

Answer 1

\( F^M(m) = P(M ≤ m) = \begin{cases} 0& \text{falls } m \lt 1 \\ \frac{\left|\{1, \dots, \lfloor m\rfloor\}^k\right|} {\left|\{1,\dots, n\}^k\right|} &\text{falls } 1\leq m\leq n \\ 1& \text{falls } m \gt n \end{cases}\)

{1, ..., n}^k ist die Menge aller Ergebnisse.

{1, ..., ⌊m⌋}^k ist die Menge aller Ergebnisse, in denen die größte Zahl höchstens m ist.

Comments

Infofrage:

Was ist der Latex-Code für die große {   ? :-)

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Das kommt darauf an, ob damit etwas eingeschlossen oder aufgefächert werden soll.

$$ \mathbb{Q} := \left\{ q \in \mathbb{R} | \exists z \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}: q = \frac{z}{n} \right\} $$

$$\mathbb{Q} := \left\{ q \in \mathbb{R} | \exists z\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}: q = \frac{z}{n}\right\}$$

$$ D: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto \begin{cases} 1 & \text{falls } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text{falls } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} $$

$$ D: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto \begin{cases}1 & \text{falls } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text{falls } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} $$

Answer 2

Die Zufallsgröße M kann die Werte 1 bis n annehmen.

Den Wert 1 nimmt sie an, wenn nur Einsen geworfen werden, also gilt P(M=1)=(1/n)^k.

Den Wert 2 nimmt sie an, wenn nur Einsen oder Zweien geworfen werden und mindestens eine Zwei dabei ist.

Es gilt P(M=2)=(2/n)^k-(1/n)^k.

Den Wert 3 nimmt sie an, wenn nur Einsen , Zweien oder Dreien geworfen werden und mindestens eine Drei dabei ist.
Es gilt P(M=3)=(3/n)^k-(2/n)^k

^usw.