Lineare Abbildungen (Analina): Bestimmen Sie f(5x). Bestimmen Sie dim(Bild(f)).

Question

Es seien die folgenden Basen des \( \mathbb { R } [ x ] _{\leq 1} = \{ a x + b | a , b \in \mathbb { R } \} \) gegeben:

$$\mathcal { B } _ { 1 } = \{ x + 3,3 \} , \quad \mathcal { B } _ { 2 } = \{ 2 x - 6,3 x + 1 \}$$

Außerdem sei die lineare Abbildung: \( f : \mathbb { R } [ x ] _{\leq 1} \rightarrow \mathbb { R } [ x ] _{\leq 1} \) durch die folgenden Bilder gegeben:

$$f ( x + 3 ) = 2 x + 6 , \quad f ( 3 ) = 3 x + 1$$

a) Bestimmen Sie f(5x).

b) Bestimmen Sie dim(Bild(f)).

c) Geben Sie eine Basis von Kern(f) an.

d) Bestimmen Sie \( f_{\mathcal{B_1}, \mathcal{B_2}} \).

Comments

Vergleicht man mit https://www.mathelounge.de/635276/wie-berechne-ich-folgende-basen?show=635409 ist zu vermuten, dass du dich bei B_2 oder bei f(x+3) vertan hast.

Answer 1

Es ist x =  (x+3) - 3

also f(x) =   f(x+3) - f(3 ) = 2x+6  - (3x+1) = -x+5

also f(5x) = 5*(-x+5) = -5x + 25

Es sind sowohl  2x+6  als auch 3x+1 in Bild(f).

Die sind lin. unabh., also dim (Bild(f)) ≥ 2.

Andererseits ist es ein Unterraum von ℝ[x]_≤1 , also dim ≤ 2

Also  dim (Bild(f)) = 2.

==>   dim(Kern(f)) = {0}  ==>  Basis ist ∅.

Das soll wohl die Matrix mit Bezug auf diese Basen sein.

In der 1. Spalte stehen also die Koeffizienten, die

man braucht um das Bild des 1. Basisvektors von B1 durch die

Basisvektoren von B2 auszudrücken:

2x+6= -0.8*(2x-6)  + 1,2*(3x+1) also 1. Spalte

  -0.8
   1.2

entsprechend die zweite Spalte

3x+1 =  0*(2x-6)  + 1*(3x+1)

Gibt dann die Matrix

    -0.8     0
     1.2     1

Comments

Hey vielen Dank für deine Lösungen!

Trotzdem hab ich noch Fragen.

1. Wie bist du darauf gekommen die f(x) gleichzusetzen und per addition zu lösen?

2.  Wie kommst du auf die -0,8 und 1,2 ? Und wie hast du dabei die gegebenen Basen genutzt?

Also es ist im Prinzip noch ein großes "Warum ?" In meinem Kopf :)

Lieben Dank!

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1. Wie bist du darauf gekommen die f(x) gleichzusetzen und per addition zu lösen?

Du hast ja gegeben  f(x+3) und  f(3 )  und suchst f(x)

Das ist bei linearen Abbildungen immer so, wenn du die

Werte für eine Basis ( hier  x+3 und 3 ) kennst, kannst du alle

anderen Werte damit berechnen. Wenn du also für irgendein z

den Wert von f(z) haben willst, musst du nur dieses z als

Linearkombination dieser Basis  darstellen. Und in diese Linearkomb.

die gegebenen Werte einsetzen.

2.  Wie kommst du auf die -0,8 und 1,2 ? Und wie hast du dabei die gegebenen Basen genutzt?    Wie unter 1. genannt. Du machst einen Ansatz in der Art:

2x+6= a*(2x-6)  + b*(3x+1) und bringst die rechte Seite auf die Form

2x+6= (…..)*x    +   (…..)

In den Klammern steht dann irgendwas mit a und b

und dann setzt du

1.Klammer = 2    und 2. Klammer = 6

und rechnest a und b aus. Dann gibt das hier

2x+6= a*(2x-6)  + b*(3x+1)

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Guten Tag,

ich habe so eine ähnliche Aufgabe und mir stellt sich die Frage wie genau man
( in diesem Fall ) die 2x+6= a*(2x-6)  + b*(3x+1)
in die Form 2x+6= (…..)*x   +  (…..) bringt.

Mfg

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2x+6= a*(2x-6)  + b*(3x+1)

      = a*2x-6a + b*3x+b

       = 2ax + 3bx - 6a + b

      = (2a+3b)*x + ( b-6a)