Na offensichtlich ist die Gleichung doch erfüllt, wenn \(x=0\) ist. Wird \(x\) größer, so kann es im Positiven nur noch eine Nullstelle geben, wenn \(\sin x\) entsprechend klein wird. \(\sin x\) wird aber erst wieder negativ, wenn \(x \gt \pi\) ist und dann ist \(x \gt \pi\) und da \(\sin x\) nie kleiner als \(-1\) wird, kann es dort keine weitere Nullstelle geben.
Weiter ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung - d.h. \(\sin(x) + x = -(\sin(-x)-x)\), also verhält sich die Funktion im Negativen genauso. \(x=0\) bleibt also die einzige Nullstelle.
Ein Plot zeigt dies nochmal deutlich: ~plot~ sin(x)+x;[[-12|12|-8|8]] ~plot~
Um die Extremstellen zu bestimmen, leitet man ab: $$f'(x) = \cos(x) + 1$$ Die Ableitung ist genau dann \(=0\), wenn \(\cos(x)=-1\) ist. Dies ist periodisch der Fall bei $$x_i = (2k+1)\pi \quad k \in \mathbb{Z}$$ D.h. der Wert von \(k\) muss die Werte \(k \in \{\dots \, -2, \, -1, \, 0, \, 1,\, 2,\, \dots\}\) annehmen. Nun ist aber $$f''(x) = -\sin(x)$$ d.h. dass di e zweite Ableitung an diesen Stellen ebenfalls \(=0\) ist. Wir haben es hier also mit Sattelpunkten zu tun. ~plot~ sin(x)+x;cos(x)+1;[[-20|20|-15|15]];{pi|pi};{3pi|3pi};{-pi|-pi};{-3pi|-3pi} ~plot~ die rote Kurve zeigt den Graphen der ersten Ableitung. Sie wird nie negativ, es gibt also keine Extremstellen.
Gruß Werner
