Zeigen Sie G: ={(x,y) Element R^2: -x + √3y = 1} ist eine Gerade.

Question

Es sei \( G:=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2}:-x+\sqrt{3} y=1\right\} \). Zeigen Sie: \( G \) ist eine Gerade. Bestimmen Sie auberdem die Menge \( G \cap S^{1} \).

Zeigen Sie G: ={(x,y) Element R^2: -x + √3y = 1} ist eine Gerade.

Ansatz:

Wie zeige ich das G eine Gerade ist? Es muss doch in der Form y=ax+b sein, oder?

Und dann für die Schnitt menge mit s1 einfach gleichsetzen oder, oder wie?

Answer 1

Wie zeige ich das G eine Gerade ist? Es muss doch in der Form y=ax+b sein, oder?

Ja genau. Bringe die Gleichung, die dort gegeben ist auf diese Form. D.h. löse die Gleichung dort formal nach y auf.

Wenn du beide Gleichungen nach y aufgelöst hast, darfst du 'gleichsetzen'. → x bestimmen und dann dazu noch y.

Answer 2

Eine solche Punktmenge wie G ist genau dann identisch mit der Menge aller Punkte einer Geraden, wenn für alle Elemente von G gilt:

y = k * x + b

wobei k und b Konstanten sind.

Das ist hier der Fall, was man allerdings nur schlecht erkennen kann, weil auf der entscheidenden Stelle ein Lichtschein vom Kopieren liegt. Die entscheidende Stelle ist der waagerechte Strich des Wurzelzeichens - dieser geht nicht über die 3 hinaus, sodass das nachfolgende y also nicht mehr zum Radikanden der Wurzel gehört.

Laut der Definition von G gilt also für die Elemente von G:

x + √ ( 3 ) * y = 1 

Löst man dies nach y auf, so erhält man:

<=> y = ( 1 - x ) / √ ( 3 )

<=> y = - ( 1 / √ ( 3 ) ) * x - 1

und das ist eine Aussage in der Form y = k x + b (siehe oben) mit den
Konstanten k = - ( 1 / √ ( 3 ) ) und b = - 1.

Die Punktmenge G beschreibt also eine Gerade.

 

G ∩ S ¹ = { ( x , y ) ∈ R ² | ( x  , y ) ∈ G und ( x , y ) ∈ S ¹ }

Diese Menge besteht also aus denjenigen Punkten ( x , y ) ∈ R ² , die sowohl die Definition der Elemente von G als auch die Definition der Elemente von S ¹ erfüllen. Wie man diese Menge im konkreten Fall zu bestimmen hat, hängt von der Definition der Menge S ¹ ab, die hier nicht genannt wurde. Wenn auch S ¹ durch eine Gleichung ähnlich wie bei der Menge G definiert ist, kann man die Punkte von G ∩ S ¹ dadurch finden, dass man das Gleichungssystem der beiden Definitionsgleichungen löst.