Gleichungen Ungleichungen

Question

Aufgabe:

Um einen Graben auszuschachten braucht der eine Bagger 3 Stunden mehr als der andere. Zusammen benötigen sie 9 Stunden. Wie lange braucht jeder Bagger alleine

Answer 1

In irgendeiner Einheit ist die gesamte zu verrichtende

Arbeit 1 .

Der erste braucht alleine x Stunden, er schafft also pro Stunde 1/x der

gesamten Arbeit;  denn   x*   1/x   = 1

Der andere alleine  x-3  Stunden, also pro Stunde  1/(x-3) der Arbeit

Wenn sie zusammen arbeiten brauchen sie  pro Stunde

                   1/x+1/(x-3)

von der gesamten Arbeit.    Dabei brauchen sie 9 Stunden,

                  9 * (        1/x+1/(x-3))    = 1

<=>            1/x+1/(x-3)  = 1/9     |  *9*x*(x-3)

                  9(x-3)   +  9x   =   x*(x-3)

                         18x - 27 = x^2 - 3x

                         0   = x^2 - 21x + 27

mit pq-Formel gibt das etwa x=19,6

(Die andere Lösung ist unsinnig, weil es dann für den

zweiten was negatives gäbe.)

Also der erste allein 19,6h und der zweite 16,6 Stunden.

Answer 2

x=Stunden Bagger X allein: Leistung für 1 Graben: 1/x [Graben/Stunde]

y=Stunden Bagger Y allein: Leistung für 1 Graben: 1/y [Graben/Stunde]

dann gilt: 1/x+1/y=1/9

1/(x+3)=1/y

Dies ist ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und den Lösungen x=16,62 und y=19,62

X braucht 16,62 Stunden allein

Y braucht 19,62 Stunden allein

Answer 3

1/x +1/(x+3) = 1/9

Hauptnenner ist 9x(x+3), erweitern und Zähler gleichsetzen:

9(x+3) +9x = x(x+3)

9x+27+9x =x^2+3x

x^2-15x-27=0

x1= 16,62 h

x2= -1,62 (entfällt)

Ein Bagger braucht 16,62 h, der andere 19,62 h.