Zu beweisen ist eine Äquivalenz zum Thema: Dimension von UV-räume

Question

Ich muss eine Lineare Algebra für mein ''Lieblingsthema'' Dimension und UV- lösen. Ich habe zwar eine Vorstellung was am ende rauskommt, jedoch weiß nicht wie ich das zeigen soll. Außerdem ist die Aufgabe relativ viel Punkte wert, deshalb ist die Aufgabe bestimmt schwieriger als sie aussieht und man muss eine reihe Unter-beweise machen um den Hauptbeweis zu stützen.

Aufgabe:

$$\text{Es seien } U_1,U_2,U_3 \text{ Unterräume  eines K-Vektorraumes V } \\\text{ Zu Zeigen: } \text{dim}U_1 + \text{dim}U_2 + \text{dim}U_3 = \text{dim}(U_1 + U_2 + U_3) + \text{dim}((U_1 + U_2 ) \cap U_3 ) + \text{dim}(U_1 \cap U_2)$$

Ansatz:

Ich vermute am ende des Beweises sollte folgendes rauskommen.

$$\\\{\text{dim}((U_1 + U_2 ) \cap U_3 ) + \text{dim}(U_1 \cap U_2)\}= \emptyset \land \text{dim}(U_1 + U_2 + U_3)= \text{dim}U_1 + \text{dim}U_2 + \text{dim}U_3 \\\Longleftrightarrow \text{dim}U_1 + \text{dim}U_2 + \text{dim}U_3  = \text{dim}U_1 + \text{dim}U_2 + \text{dim}U_3 $$

Wie genau zeige ich diesen Part aber, falls das überhaupt der richtige Ansatz ist ?:

$$\\\text{dim}\{((U_1 + U_2 ) \cap U_3 ) + \text{dim}(U_1 \cap U_2)\}= \emptyset $$

Comments

Update:

Ich habe Zeit gefunden und mich mit Thema auseinandergesetzt und ''entdeckt'', dass man die Aufgabe via die Dimensionsformel lösen kann, welche in der Vorlesung vorkam.

Ich möchte euch jedoch bitten meinen  Beweis zu überprüfen, weil die Aufgabe ist 25% der Punkte der Hausübung Wert und ich es nicht glauben kann, dass sie so einfach mir die Punkte geben.

$$\text{Es seien } U_1,U_2,U_3 \text{ Unterräume  eines K-Vektorraumes V } \\\text{ Zu Zeigen: } \text{dim}U_1 + \text{dim}U_2 + \text{dim}U_3 = \text{dim}(U_1 + U_2 + U_3) + \text{dim}((U_1 + U_2) \cap U_3)+\text{dim}(U_1 \cap U_2) \\[10pt]\text{Beweis via der Dimensionsformel: } \\\text{dim}U_1 + \text{dim}U_2 + \text{dim}U_3= \text{dim}(U_1+U_2)+\text{dim}(U_1 \cap U_2) + \text{dim}U_3= \text{dim}U_1+\text{dim}U_2+ \text{dim}U_3+\text{dim}(U_1 \cap U_2)= \\\text{dim}(U_1+U_2+U_3)+\text{dim}(U_1 \cap U_2)=\text{dim}(U_1+U_2+U_3)+ \text{dim}((U_1+U_2)\cap U_3)+\text{dim}(U_1 \cap U_2) $$

---

Update 2:

$$\text{Es seien } U_1,U_2,U_3 \text{ Unterräume  eines K-Vektorraumes V.  } \\\text{Zusätzlich sei } M=U_1 +U_2 \land V= M+U_3 \\\text{Zu Zeigen: } \text{dim}U_1 + \text{dim}U_2 + \text{dim}U_3 = \text{dim}(U_1 + U_2 + U_3) + \text{dim}((U_1 + U_2) \cap U_3)+\text{dim}(U_1 \cap U_2) \\[10pt]\text{Beweis via der Dimensionsformel: } \\\text{''==>''} \\\text{dim}U_1 + \text{dim}U_2 + \text{dim}U_3= \text{dim}(U_1+U_2)+\text{dim}(U_1 \cap U_2) + \text{dim}U_3= \text{dim}U_1+\text{dim}U_2+ \text{dim}U_3+\text{dim}(U_1 \cap U_2)= \\\text{dim}((U_1+U_2)+U_3)+\text{dim}(U_1 \cap U_2)=\\\text{dim}(M+U_3)+\text{dim}(U_1 \cap U_2)=\text{dim}(M+U_3)+ \text{dim}(M\cap U_3)+\text{dim}(U_1 \cap U_2)=\text{dim}(U_1+U_2+U_3)+ \text{dim}((U_1+U_2)\cap U_3)+\text{dim}(U_1 \cap U_2) \\[10pt]\text{''<==''} \\\text{ Sei } M=U_1 +U_2 \land V= M+U_3 \\\text{1) Da } U_1 \land U_2 \text { eine direkte Summe von M sind }\Longrightarrow U_1 \cap U_2=\{0\} \Longrightarrow \text{dim}(0) \\\text{2) Analog gilt dasselbe für M und } U_3 \text{ da sie die direkte Summe des V Unterraums abbilden:} \\ \text{dim}(U_1+U_2)\cap U_3)= \text{dim}(M)\cap U_3)=\text{dim}(0) \\\text{ Aus 1) und 2) folgt:} \\\text{dim}((U_1 + U_2 )+ U_3) + \text{dim}((U_1 + U_2) \cap U_3)+\text{dim}(U_1 \cap U_2)=\text{dim}(U_1 + U_2 + U_3) +\text{dim} (0)+ \text{dim}(0)= \text{dim}(U_1 + U_2 + U_3)\\ \text{ Aus Korollar 4.23 folgt:} \\\text{dim}(U_1 + U_2 + U_3)= \text{dim}U_1+\text{dim}U_2+\text{dim}U_3 \\\blacksquare$$