Homöomorph und bijektive Abbildung

Question

könnte jemand mir helfen? Danke

Zwei Teilmengen A, B ⊂ ℝ  heißen homöomorph, falls es eine bijektive Abbildung f : A → B gibt, so dass f und ihre Umkehrfunktion f^-1 stetig sind.

Seien a < b in ℝ. Zu zeigen : das Intervall (a, b) ist homöomorph zu ℝ, nicht aber zu [a, b].

Answer 1

mathef hat ja schon den ersten  Teil deiner Frage beantwortet, ich übernehme den zweiten Teil.

Wir fixieren einen beliebigen Homöomorphismus:

$$\Psi:[a,b]\to (a,b)$$

und benutzen einen weiteren (von mathef gegeben z.B.) Homöomorphismus:

$$\phi: (a,b)\to \mathbb{R}$$

Es sollte klar sein, dass Verknüpfungen von Homöomorphismen Homöomorphismen sind (wenn nicht: nachrechnen!), du bekommst also vor allem einen Homöomorphismus:

$$\Gamma = \phi\circ\Psi: [a,b]\to \mathbb{R}$$

Dieser ist natürlich eine stetige Bijektion. Insbesondere weißt du aus der Einführung in die Analysis, dass jede stetige reelle Funktion mit Definitionsbereich [a,b] ein Maximum haben muss. Da Gamma allerdings unbeschränkt ist (da bijektiv), besitzt sie kein Maximum, also kann es erst garkeinen Homöomorphismus Psi geben.

LG

Answer 2

Der erste Teil ist einfach:
Idee:   arctan : (pi/4 ; pi/4 ) →  ℝ   ist bijektiv

und sowohl arctan als auch tan stetig.

Jetzt muss man noch von (a,b) nach  (pi/4 ; pi/4 )

kommen.  Mit

   f :  (a,b) ---->  (0;1)

          x ----->  (x-a) / ( b-a)

kommt man auch bijektiv und stetig hin, also

ist  wohl

g : (a,b ) →  ℝ

         x ------->  arctan (  -pi/4 + f(x)*pi/2 )

ein Homöomorphismus von  (a,b ) nach   ℝ

Comments

Kleine Anmerkung: "Mit f: (a,b) -> (0,1) [...] kommt man auch bijektiv, stetig und mit stetigem Inversen hin". Die Funktion erfüllt diese Eigenschaft, also gibt es hier kein Problem. Man muss es allerdings auf jeden Fall anmerken, da es stetige Bijektionen gibt, die keine Homöomorphismen sind!