Kurvenscharen Hochpunkt Nullstelle Ortskurve

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktionenschar fa(x) = -x^2+ax-2 mit a € R

Aufgabe a) Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar einen Hochpunkt besitzen und bestimmen sie dessen Koordinaten in Abhängigkeit von a

b) bestimmen sie die Gleichung der Ortskurve der Hochpunkte der Schar

c) Bestimmen sie die Werte für a, bei dennen der Graph von f nur eine Nullstelle besitzt

d) Geben sie die Funktionsgleichung für a=4 an und bestimmen die Nullstellen und den Hochpunkt.…

Problem/Ansatz: Komme gar nicht voran

Answer 1

 fa(x) = -x^2+ax-2

 fa'(x) = -2x + a   = 0

                  x = a/2

fa''(x) = -2  also fa''(a/2) < 0

==> fa besitzt Max bei a/2 mit H( a/2 ; a^2 / 4   - 2 )

Ortskurve   x = a/2        y = a^2 / 4  - 2

                2x = a            y = 4x^2 / 4 - 2  =  x^2 - 2

nur eine Nullstelle   fa(x) = 0

             (pq-Formel)    x =( a+ √(a^2 - 8 )   )/2

genau eine Lösung für  a^2 = 8  also    a = ±√8

Für a= 4 einfach nur   f(x) = -x^2 + 4x - 2  untersuchen

Nullstellen bei 2±√2   und H(2 ; 2 ) .

Comments

@mathef: Wenn du a=2x direkt in f_a(x) = -x²+ax-2 einsetzt, erhältst du unmittelbar g(x) = -x²+2x²-2 =x²-2.

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Danke, guter Tipp.

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Deine Art zu rechnen habe ich als Schüler lernen müssen und Jahrzehnte später den kürzeren Weg bemerkt.