Bestimme die Dimensionen der Kerne und Bilder der Matrizen

Question

Aufgabe:

Seien zwei Matrizen
A = 
(11 5 71
-1 97 37)

und B =
(2 -16 14
-1 8 -7)
gegeben. Bestimmen Sie die Dimensionen der Kerne und Bilder der Matrizen A und B.

Anstaz:

ich verstehe gerade nicht wie ich die lösen kann, ich muss die Dimensionssatz anwenden:

Es sei A ∈ R^mxn dann gilt für die Vektorräume Kern und Bild:
dim (Kern(A)) + dim (Bild(A)) = n

habe versucht erst Kern und Bild von der Matrix A zu bekommen aber es sieht falsch aus...

Wäre gut wenn jemand da weiter helfen kann :)) !

Answer 1

Die Spalten der Martrix sind die Bilder der Basisvektoren.

Das Bild ist das Erzeugnis der Bilder der Basisvektoren.

Also ist die Dimension des Bildes gleich dem Rang der Matrix.

Die Dimension des Kerns bekommst du dann über den Dimensionssatz.

Answer 2

⎡ 11   5  71 ⎤     •    [x, y, z]^T   =    ⎡ 11·x +  5·y  + 71·z ⎤    =  Bild (A)

⎣ -1  97  37 ⎦                                ⎣    -x + 97·y + 37·z  ⎦

Da die Zeilen von Bild (A)  keine Vielfachen voneinander sind,  ist dim(Bild (A)) = 2

Dimensionssatz  →  dim(Kern(A)) = 1

Gruß Wolfgang