Berechnen Sie die Determinante..

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Determinante der MatrixA= (a_ij)_{i,j∈{1,...,n}} ∈ M(n) mit 

a_ij :={1 falls i≤ j
        {n+ 1−j falls i > j

für i,j ∈ {1,...,n}.

Ansatz:

Meine Überlegung war bisher die folgende ich habe mir erstmal eine Matrix genommen die, dass erfüllt.

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \) soweit so gut. dann habe ich mir die nächst größere angeschaut. \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 1\\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \) diese könnte man nun beliebig oft machen. Dabei fiel mir auf das die kleiner Matrix immer unten in der rechten Ecke der Größen Matrix ist.

Allerdings kann ich keinen Bezug finden wie mir das Hilft die Determinate auszurechnen. Erst dachte ich die erste Spalte verändert sich ja nicht großartig da in dieser immer nur "1" stehen aber die Erste Zeile ändert sich ja um "+1" zur Zweiten Zeile. Aber das hilft mir persönlich nicht weiter um die Determinante auszurechnen.

Wäre dankbar für Hilfe

Comments

Subtrahiere die erste Zeile von allen restlichen. Entwicklung nach der letzten Spalte liefert die Lösung.

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Danke erstmal für deine Antwort. Allerdings hilft mir das noch nicht weiter weil sich das ja auf eine nxn matrix angewendet werden soll.

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Sollte auch für allgemeine n klappen. Als Resultat habe ich det(A_n) = (-1)ⁿ⁺¹·(n-1)!.

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Danke dir allerdings hab ich ehrlich gesagt denn rechenweg noch nicht ganz verstanden.

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Vielleicht wird es an einem konkreten Beispiel etwas deutlicher. Z.B. gilt für n=4 nach der ersten Umformung$$\det A_4=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\4&1&1&1\\4&3&1&1\\4&3&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\3&0&0&0\\3&2&0&0\\3&2&1&0\end{vmatrix}.$$Nun die zweite Umformung:$$=(-1)^{1+4}\cdot1\cdot\begin{vmatrix}3&0&0\\3&2&0\\3&2&1\end{vmatrix}=(-1)^5\cdot3\cdot2\cdot1=(-1)^{n+1}\cdot(n-1)!.$$

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ja so ist es verständlicher. danke dir